Igelkott (topologi)

Igelkotten i allmän topologi är ett exempel på ett mätbart utrymme . Den är konstruerad från en central punkt , ett enhetshalvintervall och en godtycklig uppsättning av given kardinalitet , som kallas igelkottens taggighet , som: $O$ $\mathbb{P}=(0,1]$ $S$ $\mathfrak{m}$

J(\mathfrak{m}) = \{O\}\cup(\mathbb{P}\ gånger S)

med införandet av måtten enligt följande:

$d(O,(x,s)) = x$
$d((x,s_1), (y,s_2)) = \begin{cases} |x - y|, & s_1 = s_2 \\ x + y, & s_1 \neq s_2 \end{cases}$ .

Namnet uppstod från föreningen med "nålar" av segment som sticker ut ur en spets. "Pricklyness" i denna förening jämförs med antalet nålar. Således är bara en punkt , är ett segment . $J(0)$ $O$ $J(1) = J(2)$

Egenskaper

En igelkott med en given taggighet beror inte på valet av uppsättningen till en homeomorfism . $S$

Kowalskis teorem . Den räknebara graden av igelkotten (för ) är det universella utrymmet för alla mätbara viktutrymmen . Det vill säga, varje mätbart viktutrymme är homeomorft till ett underutrymme med en räknebar grad av en igelkott . [ett] $\mathfrak{m}$ ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$

Hedgehog är ett komplett utrymme , inte heller ett helt avgränsat utrymme , vid [2] , inte starkt parakompakt vid [3] . $\mathfrak{m} \ge \aleph_0$ $\mathfrak{m} > \aleph_0$

Ej lokalt separerbar under [4] . $\mathfrak{m} > \aleph_0$

$J(\mathfrak{m})$ är inbäddad i kl . $J(\mathfrak{n})$ $\mathfrak{m} \le \mathfrak{n}$

$J(\mathfrak{m})$ är inbäddad i planet endast för . ${\mathbb {R}}^{2}$ $\mathfrak{m}< \aleph_0$

Om såklart, så är igelkottens vikt , densitet , karaktär , cellularitet och Lindelöf-tal lika . Annars (när ) karaktären är , och vikten, densiteten, cellulariteten och Lindelöf-talet är lika [5] . $\mathfrak{m}$ $J(\mathfrak{m})$ $\aleph_0$ $\mathfrak{m} \ge \aleph_0$ $\aleph_0$ $\mathfrak{m}$

Triodens kvadrat är inte inbäddad i det tredimensionella euklidiska rummet . $J 3)$ $\mathbb {R} ^{3}$

På planet ( ) är det omöjligt att ordna ett oräkneligt antal trioder så att de inte skär varandra i par. $\mathbb {R} ^{2}$ $J 3)$

Den öppna uppvisningen av igelkotten är återigen en igelkott utan större taggighet (här bör man noggrant förstå de sammanfallande fallen och ). $J(1)$ $J(2)$

Anteckningar

↑ Swardson, MA Ett kort bevis på Kowalskys hedgehog-sats . American Mathematical Society (1 juni 1979). Hämtad 11 juli 2014. Arkiverad från originalet 14 juli 2014. (obestämd)
↑ Engelking, 1986 , sid. 395.
↑ Engelking, 1986 , sid. 528.
↑ Engelking, 1986 , sid. 425.
↑ Engelking, 1986 , sid. 375.

Litteratur

Engelking, Ryszard. Allmän topologi. - M .: Mir , 1986. - S. 374-375. — 752 sid.