Abelian grupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 augusti 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Abelisk (eller kommutativ ) grupp - en grupp där gruppoperationen är kommutativ ; med andra ord, en grupp är abelisk om för två element . $(G,\;*)$ $a*b=b*a$ $a,\;b\i G$

Vanligtvis, för att beteckna en gruppoperation i en Abelisk grupp, används additiv notation, det vill säga en gruppoperation betecknas med ett tecken och kallas addition [1] $+$

Namnet ges för att hedra den norske matematikern Niels Abel .

Exempel

Gruppen av parallella översättningar i linjärt rum.
Vilken cyklisk grupp som helst är abelisk. Ja, för alla och det är sant att $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- I synnerhet är uppsättningen heltal en kommutativ grupp genom addition; detsamma gäller för resthaltsklasser $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$
Vilken ring som helst är en kommutativ (abelsk) grupp genom sin addition; ett exempel är fältet för reella tal med operationen av addition av tal. $\mathbb {R}$
De inverterbara elementen i en kommutativ ring (i synnerhet element som inte är noll i vilket fält som helst ) bildar en abelsk grupp genom multiplikation. Till exempel är en abelsk grupp en uppsättning reella tal som inte är noll med multiplikationsoperationen.

Relaterade definitioner

I analogi med dimensionen av vektorrum , har varje Abelisk grupp en rangordning . Det definieras som den minsta dimensionen av ett vektorrum över fältet av rationella tal , i vilket torsionsfaktorn för en grupp är inbäddad . $\mathbb {Q}$

Egenskaper

Finitely genererade abelska grupper är isomorfa till direkta summor av cykliska grupper .
- Finita abelska grupper är isomorfa till direkta summor av ändliga cykliska grupper.
Varje abelisk grupp har en naturlig modulstruktur över ringen av heltal . Faktum är att låt vara ett naturligt tal och vara ett element i en kommutativ grupp med operationen betecknad med +, då kan vi definiera både ( tider) och . $n$ $x$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Påståenden och teorem som är sanna för abelska grupper (det vill säga moduler över en principiell idealdomän ) kan ofta generaliseras till moduler över en godtycklig principiell idealdomän. Ett typiskt exempel är klassificeringen av
ändligt genererade Abelska grupper , som kan generaliseras till klassificeringen av godtyckligt ändligt genererade moduler över en domän av huvudsakliga ideal . $\mathbb {Z}$

Uppsättningen av homomorfismer för alla grupphomomorfismer från till är i sig en abelsk grupp. Faktum är att låt vara två grupphomomorfismer mellan abelska grupper, då deras summa , givet som , är också en homomorfism (detta är inte sant om det inte är en kommutativ grupp).

\operatörsnamn {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\till H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Begreppet abelianitet är nära besläktat med begreppet centrum för en grupp - en uppsättning som består av de av dess element som pendlar med varje element i gruppen och spelar rollen som ett slags "mått på abelianity". En grupp är abelian om och bara om dess centrum sammanfaller med hela gruppen.

Z(G)

G

G

Finita abelska grupper

Den grundläggande satsen om strukturen av en ändlig abelisk grupp säger att vilken ändlig abelisk grupp som helst kan delas upp i en direkt summa av dess cykliska undergrupper, vars ordning är primtalsbefogenheter . Detta är en konsekvens av den allmänna satsen om strukturen av ändligt genererade abeliangrupper för det fall då gruppen inte har element av oändlig ordning. är isomorft till en direkt summa om och endast om och är coprime . $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Därför kan man skriva en Abelisk grupp i form av en direkt summa $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

på två olika sätt:

Var finns primtalen $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Var delar , vilken delar , och så vidare upp till . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Till exempel kan den delas upp i en direkt summa av två cykliska undergrupper av order 3 och 5: . Detsamma kan sägas om vilken abelian grupp av ordningen femton som helst; som ett resultat drar vi slutsatsen att alla abelska grupper av ordning 15 är isomorfa. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z} /15\mathbb{Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variationer och generaliseringar

En differentialgrupp är en abelisk grupp där en sådan endomorfism ges att . Denna endomorfism kallas en differential . Element i differentialgrupper kallas kedjor , element i kärncyklerna , element i bildgränserna . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$
En ring är en abelsk grupp på vilken en extra binär operation "multiplikation" ges, som uppfyller axiomen för distribution .
En metabelisk grupp är en grupp vars kommutatorundergrupp är abelisk.
En nilpotent grupp är en grupp vars centrala serie är ändlig.
En lösbar grupp är en grupp vars kommutatorserie stabiliserar sig på trivialgruppen.
En Dedekind-grupp är en grupp vars undergrupp är normal .

Se även

Algebraiskt system

Anteckningar

↑ Abelian group - artikel från Encyclopedia of Mathematics . Yu. L. Ershov

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Fuchs L. Oändliga abelska grupper. - Mir, 1974.

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform