Vågekvationen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 juni 2021; kontroller kräver 20 redigeringar .

Vågekvationen i fysiken är en linjär hyperbolisk partiell differentialekvation som specificerar små tvärgående vibrationer av ett tunt membran eller sträng , såväl som andra oscillerande processer i kontinuerliga medier ( akustik , mestadels linjärt: ljud i gaser, vätskor och fasta ämnen) och elektromagnetism ( elektrodynamik ). Den finner också tillämpning inom andra områden av teoretisk fysik, till exempel i beskrivningen av gravitationsvågor. Det är en av de grundläggande ekvationerna i matematisk fysik .

Typ av ekvation

I det flerdimensionella fallet skrivs den homogena vågekvationen som

\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}

var är Laplace-operatorn , är en okänd funktion, är tid, är en rumslig variabel, är fashastigheten . $\Delta$ $u=u(x,t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $v$

Slutsats för det tredimensionella fallet.

Ovanstående beräkningar kan naturligtvis också generaliseras till flerdimensionella fall. Så.

Låt den plana vågekvationen ges:

A({\vec {r)),t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\ höger),

var

$A(x,t)$ är storleken på störningen vid en given punkt i rum och tid ; $x$ $t$
${\displaystyle A_{0))$ är vågamplituden ;
$\omega$ - cirkulär frekvens ;
${\vec {k}}$ är vågvektorn lika med $k{\vec {n))$

var

$k$ är vågnumret ;
${\vec {n}}$ är enhetens normalvektor som dras till vågfronten

${\vec {r}}\left(x,y,z\right)$ är radievektorn för punkten med koordinater och ; $x,y$ $z$
$({\vec {k)],{\vec {r)))$ är den skalära produkten av vektorer och . Här och nedan kommer den skalära produkten att betecknas på detta sätt; $\vec{k}$ ${\vec {r))$
$\varphi_{0}$ är den inledande fasen av svängningar .

Vi särskiljer det med avseende på , med avseende på , med avseende på och med avseende på . Vi får fyra ekvationer: $x$ $y$ $z$ $t$

\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2))}=-\omega ^{2 }A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A( {\vec {r)),t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{ 2))}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0} \right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\ vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}}, {\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(3\right)\ \{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2))}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\ vänster(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{z}^{2}A({\vec {r }},t)\qquad \left(4\right)\end{matris}}\right.

Lägg till och $\left(2\right),\left(3\right)$ $\left(4\right):$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k }}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)

Från den erhållna ekvationen och ersätter ekvationen får vi det $\left(1\right),$ ${\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }={\cfrac {1}{v^{2))}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2)) }\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r)),t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial t^{2))}

I det endimensionella fallet kallas ekvationen även strängvibrationsekvationen eller stavens longitudinella vibrationsekvation och skrivs som

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {1}{v^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{ \partial t^{2}}}

Denna ekvation kan tolkas enligt följande. Den andra derivatan av koordinaten med avseende på tid, kraften (Newtons andra lag), är proportionell mot strängens krökning (den andra derivatan med avseende på koordinaten). Med andra ord, ju högre krökning "puckel" har på strängen, desto större kraft verkar på denna sektion av strängen.

D'Alembert-operatör

Skillnaden kallas d'Alembert-operatorn och betecknas som (olika källor använder olika tecken). Med hjälp av operatorn d'Alembert (dalambertian) skrivs den homogena vågekvationen som $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ $\fyrkant$

\kvadrat u=0

Inhomogen ekvation

Det är också möjligt att överväga den inhomogena vågekvationen

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=v^{2}\Delta u+f

där är en given funktion av en yttre verkan (yttre kraft). $f=f(x,t)$

Den stationära versionen av vågekvationen är Laplace-ekvationen ( Poissons ekvation i det inhomogena fallet).

Problemet med att hitta normala svängningar i ett system som beskrivs av en vågekvation leder till ett egenvärdesproblem för Laplace-ekvationen , det vill säga att hitta lösningar på Helmholtz-ekvationen , erhållen genom att ersätta

$u(x,t)=v(x)e^{{i\omega t}}\$ eller . $u(x,t)=v(x)\,{\mathop {{\rm {cos))))\,(\omega t)\$

Lösning av vågekvationen

Det finns en analytisk lösning på en hyperbolisk partiell differentialekvation. I ett euklidiskt rum av godtycklig dimension kallas det Kirchhoff-formeln. Särskilda fall: för strängvibrationer ( ) — d'Alemberts formel , för membranvibrationer ( ) — Poissons formel . ${\mathbb {R}}^{1}$ $\mathbb {R} ^{2}$

D'Alemberts formel

Lösning av den endimensionella vågekvationen (här fashastigheten) $v=a$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)\quad

(funktionen motsvarar att driva yttre kraft)

f(x,t)

med initiala villkor

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

har formen

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a))\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{{xa(t-\tau )}}^{{x+a(t-\tau )}}f(s,\tau )dsd\tau

Det är intressant att notera att lösningen av det homogena problemet

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med följande form:

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }

kan presenteras i formuläret

u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)

var

f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{0}}^{{x}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{x}}^{{0}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

I det här fallet säger vi att lösningen representeras som summan av vandringsvågor, och funktionerna och är profilerna för vågorna som reser sig till vänster respektive till höger. I det aktuella fallet ändras inte vågprofilerna med tiden. $f_1(x)$ $f_{2}(x)$

I det flerdimensionella fallet kan lösningen av Cauchy-problemet också delas upp i vandringsvågor, men inte till en summa, utan till en integral, eftersom det finns oändligt många riktningar. Detta görs elementärt med Fouriertransformen

Problem på halvlinjen

Betrakta den homogena oscillationsekvationen på halvlinjen $[0;+\infty )$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med fast ände:

u(0,t)=0

och initiala förhållanden

u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)

För att problemet ska ha en lösning måste initialvillkoren och randvillkoren vara konsekventa, nämligen:

\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0

Problemet på halvlinjen kan lätt reduceras till problemet på linjen efter att vi fortsätter de initiala förhållandena antisymmetriskt:

\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )

På grund av att initialvillkoren är udda funktioner är det logiskt att förvänta sig att lösningen också kommer att vara en udda funktion. Detta kan verifieras direkt genom att överväga lösningen i form av d'Alembert-formeln. Därför kommer den resulterande lösningen u(x, t) att uppfylla initialvillkoren och gränsvillkoret (det senare följer av funktionens uddahet). $\varphi(x),\psi(x)$ $u(x, t)$ $u(0,t)=0$

Tekniken som visas är allmänt använd (inte bara för vågekvationen) och kallas reflektionsmetoden . Till exempel kan man betrakta vågekvationen på en halvlinje, men med ett randvillkor av det andra slaget i slutet : $x=0$

u_{x}(0,t)=0

Fysiskt innebär tillståndet att stavens vänstra ände (om vi betraktar systemet som längsgående vibrationer hos staven) är fri, det vill säga ingen kraft verkar på den.

Lösningsmetoder i en begränsad endimensionell domän

Reflektionsmetod

Betrakta en endimensionell homogen vågekvation på segmentet $[0,a]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med homogena randvillkor av det första slaget (det vill säga med fasta ändar)

u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0

och initiala förhållanden

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]

Med hjälp av reflektionsmetoden kan problemet återigen reduceras till ett problem på en rak linje. I det här fallet kommer ett oändligt antal reflektioner att krävas, som ett resultat kommer de fortsatta initiala förhållandena att bestämmas enligt följande:

\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

När man betraktar den inhomogena vågekvationen:

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)

exakt samma överväganden används, och funktionen fortsätter på samma sätt. $f(x,t)$

Fouriermetoden

Betrakta återigen den endimensionella homogena vågekvationen på intervallet $[0,l]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med homogena randvillkor av det första slaget

u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0

och initiala förhållanden

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]

Fouriermetoden bygger på att representera lösningen som en (oändlig) linjär kombination av enkla lösningar på formproblemet

X(x)T(t)

, där båda funktionerna är beroende av endast en variabel.

Det andra namnet på metoden är därför metoden för separation av variabler.

Det är lätt att visa att för att funktionen ska vara en lösning på oscillationsekvationen och uppfylla randvillkoren krävs att villkoren $u(x,t)=X(x)T(t)$

X(0)=0\qquad X(l)=0

a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)

T''(t)=-\lambda T(t)

Lösningen av Sturm-Liouville-problemet leder inte till svaret: $X(x)$

X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l))\right)\qquad n\in \mathbf {N}

och deras egna värderingar $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Deras motsvarande funktioner ser ut $T$

T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda}}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).

Sålunda är deras linjära kombination (förutsatt att serien konvergerar) en lösning på det blandade problemet

u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\summa _{n=1}^{+ \infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda}}_{n }t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l)).

Genom att utöka funktionerna i en Fourierserie kan man få fram de koefficienter för vilka lösningen kommer att ha sådana initiala förutsättningar. $\varphi(x),\psi(x)$ $\alpha _{n},\beta _{n}$

Wave-redovisningsmetod

Betrakta återigen den endimensionella homogena vågekvationen på intervallet $[0,a]$

u_{{tt}}=u_{{xx}},

Men den här gången ställer vi upp homogena initiala villkor

u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]

och inhomogen gräns. Till exempel kommer vi att anta att beroendet av positionen för ändarna av staven på tiden är givet (gränsvillkoret för det första slaget)

u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)

Lösningen skrivs som

u(x,t)=\summa _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\mu (tx-2ka)-\mu (t+x-(2k+2) a){\biggr ]}+\summa _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (tx -(2k+1)a){\biggr ]}

Det faktum att den uppfyller ekvationen och de initiala randvillkoren kan verifieras direkt. En intressant tolkning är att varje term i lösningen motsvarar någon reflektion av en av gränsvågorna. Till exempel genererar det vänstra gränsvillkoret en våg av formen

\mu (tx),

som når rätt slut i tid a , reflekteras och ger ett bidrag

\mu (t+x-2a),

efter en tid reflekteras a igen och bidrar

\mu (tx-2a),

Denna process fortsätter i det oändliga, summerar bidragen från alla vågor, och vi får den indikerade lösningen. Om vi är intresserade av en lösning på intervallet kan vi begränsa oss till endast de första termerna. $[0,T]$ $\lceil T/a\rceil$

Plan elektromagnetisk vågekvation

Vi skriver Maxwells ekvationer i differentialform:

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatörsnamn {div} \mathbf {B} =0$

$\operatörsnamn {div} \mathbf {D} =\rho$

$\mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H}$

$\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {E}$ är vektorn för elektrisk fältstyrka

$\mathbf {H}$ är vektorn för magnetfältets styrka

$\mathbf {B}$ är den magnetiska induktionsvektorn

$\mathbf {D}$ är den elektriska induktionsvektorn

$\mu$ — magnetisk permeabilitet

$\mu_{0}$ - magnetisk konstant

$\varepsilon$ — Elektrisk permeabilitet

$\varepsilon_{0}$ - elektrisk konstant

$\mathbf {j}$ är strömtätheten

$\rho$ - laddningstäthet

$\operatörsnamn{rot}$ — rotor , differentialoperatör, $\operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k } \\{\frac {\partial }{\partial x))&{\frac {\partial }{\partial y))&{\frac {\partial }{\partial z))\\E_{x} &E_{y}&E_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}} \right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right) \mathbf {k}$

$\operatörsnamn {div}$ - divergens , differential, $\operatorname {div} \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{ y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}$

$\Delta$ - Laplace-operatör, , [1] $\Delta \mathbf {E} =\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k}$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

För en elektromagnetisk våg , därför: $\mathbf {j} =0$ $\rho =0$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatörsnamn {div} \mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\operatörsnamn {div} \mathbf {E} =0$

Enligt egenskapen hos vektorfältet curl . Genom att ersätta här och får vi: $\operatörsnamn {rot} \operatörsnamn {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\operatörsnamn {grad} } (\operatörsnamn {div} \mathbf {E} )-\Delta E$ $\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\operatörsnamn {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {rot} \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-\Delta \mathbf {E}$

$\Delta \mathbf {E} =\operatörsnamn {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {\partial }{\partial t))\operatörsnamn {rot} \mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\operatörsnamn {rot} \mathbf {H}$ vi ersätter här från Maxwells ekvationer , vi får: $\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\partial ^{2}\mathbf {D} \over \partial t^{2))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [2]

${\displaystyle c=1/{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0))))$

$\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} ={\frac {1}{c^{2 ))}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

Vektorn svänger i ett plan vinkelrätt mot axeln , så . $\mathbf {E}$ $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\Delta E_{y}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{ 2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

Vågen utbreder sig längs axeln och är därför inte beroende av koordinaterna och : $X$ $\mathbf {E}$ $y$ $z$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$

Ett liknande uttryck kan erhållas för : $\mathbf {H}$

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}( {\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2)))\\{\frac {\partial ^{2}H_{z)){\partial x^{2))}= {\frac {1}{c^{2}}}({\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}})\end{cases}}$ (ett)

Den enklaste lösningen på dessa ekvationer är funktionerna [3] :

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$k$ - vågnummer . Låt oss hitta det genom att ersätta ekvation (2) i den första ekvationen (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

Härifrån finner vi det $k={\frac {\omega }{c))$

Förhållandet mellan amplituderna för de elektriska och magnetiska komponenterna i en elektromagnetisk våg

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \ mathbf {H} }{\partial t))$

$\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =-\mu \mu _ {0}{\frac {\partial }{\partial t))(H_{x}\mathbf {i} +H_{y}\mathbf {j} +H_{z}\mathbf {k} )$

Vågen rör sig längs axeln , så derivatorna med avseende på och är lika med noll. $X$ $\partial x$ $\partial z$

$\mathbf {E}$ fortplantar sig därför vinkelrätt i planet $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\mathbf {H}$ fortplantar sig därför vinkelrätt i planet $XZ$ $X$ $H_{x}=H_{y}=0$

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf { E} }{\partial t))$

$\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =\varepsilon \varepsilon _{ 0}{\frac {\partial }{\partial t))(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Det finns två ekvationer:

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Ersätt lösningen i dem:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

Vi får:

$E_{m}k\sin(\omega t-kx)=\mu \mu _{0}H_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$H_{m}k\sin(\omega t-kx)=\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega$

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k$

Låt oss multiplicera det ena med det andra:

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega$

${\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=={\sqrt { \frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7} )}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi 9\cdot 10^{16}10^{-7})))={\sqrt {(4\pi ) (4\pi 900)}}=120\pi \ca 377$ [3]

Se även

Anteckningar

↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher School". MPI Publishing House 1984. Artikel "Laplace-operatör" och "Vektorfältrotor".
↑ I.V. Savelyev "Course of General Physics" Volym II stycke "Vågekvation" s. 398 formel (109.8)
↑ 1 2 I.V. Savelyev "Course of General Physics" volym II stycke "Plane electromagnetic wave"

Länkar

Wave Equation // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ekvationer för matematisk fysik: Lärobok .. - 6:e upplagan, Rev. och ytterligare .. - M . : Publishing House of Moscow State University, 1999. - 798 sid. — ISBN 5-211-04138-0 .
I.V. Savelyev "Course of General Physics" Volym II
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". MPI Publishing House 1984

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen