Harnack princip

Harnacks princip (Harnacks andra sats ) är en sats om egenskaperna hos en monoton sekvens av funktioner som är harmoniska i en avgränsad domän, som utvidgar konvergens vid en viss punkt till konvergens i hela domänen. Upprättad av den tyske matematikern Axel Harnack 1886 .

Formellt, låt vara positiva harmoniska funktioner i någon domän; om rad: $v_{n}(z)$ $D$

\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}(z)

konvergerar åtminstone vid en punkt i domänen , sedan konvergerar den enhetligt inuti . $D$ $D$

Bevis

Låta vara en cirkel med centrum vid och radie , liggande i . Multiplicera olikheten , där , med , och integrera över inom intervallet från till , vi får , därav följer att om serien konvergerar vid en punkt, då den konvergerar vid varje punkt inuti . Låta vara en kedja av cirklar som ligger i och sådan att konvergenspunkten är mitten av cirkeln , mitten av varje ligger inuti , ligger inuti , där är en godtyckligt vald punkt i . Vid ett tillfälle , i kraft av det föregående, visar sig serien vara konvergent, men - vilken punkt som helst i , därför konvergerar serien i regionen . Låta vara en godtycklig cirkel med centrum och radie , liggande i , vara en koncentrisk cirkel med större radie , också liggande i . Multiplicera ojämlikheten , där , med , och integrera över inom gränserna från till , vi får vid , därför är serien majoriserad på cirkeln med en numerisk konvergent serie och konvergerar därför enhetligt på , men - vilken cirkel som helst i , därför , serien konvergerar enhetligt inuti . $K$ $z_{0}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+r }{Rr}}$ $0\leq r<R$ ${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alfa$ $-\pi$ $\pi$ $v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+r}{Rr}}v_{{n}}(z_{{0} })$ $z_{0}$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $K$ $K_{{1}},K_{{2}},...,K_{{m}}$ $D$ $z_{0}$ $K_{1}$ $K_{{j}}(1<j\leq m)$ $K_{{j-1}}$ $Z$ $K_{m}$ $Z$ $D$ $Z$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$ $Z$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$ $D$ $K$ $z_{1}$ $\rho$ $D$ $\overline {K}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}$ $0\leq r<\rho$ ${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alfa$ $-\pi$ $\pi$ $v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{ {ett}})$ $0\leq r<\rho$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $K$ $\sum _{{1}}^{\infty }{\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{{1}})$ $K$ $K$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$

Konsekvens

Om en ökande eller minskande sekvens av harmoniska funktioner i någon domän konvergerar åtminstone vid en punkt i den domänen, då konvergerar den enhetligt inuti . $D$ $D$

Litteratur

Romanovsky P. I. Fourier-serien. Fältteori. Analytiska och specialfunktioner. Laplace transformation. M., Nauka, 1980, 336 s., skjutbana. 28 000 exemplar