Homotopi

Homotopi är en familj av kontinuerliga mappningar som kontinuerligt är beroende av en parameter, närmare bestämt en kontinuerlig mappning . $F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$ $F\kolon [0,1]\ gånger X\ till Y$

Relaterade definitioner

Mappningar kallas homotop ( ) om det finns en homotopi sådan att och . $f,g\kolon X\till Y$ $g\sim f$ $med$ $f_0=f$ $f_1=g$
- Detta definierar en ekvivalensrelation mellan kontinuerliga mappningar . $X\ till Y$

Homotopi ekvivalens av topologiska utrymmen och är ett par kontinuerliga mappningar och sådana att och , här betecknar homotopi av mappningar. I detta fall sägs c också ha en homotopityp . $X$ $Y$ $f\kolon X\till Y$ $g\kolon Y\till X$ $f\circ g\sim \operatörsnamn {id}_{Y}$ $g\circ f\sim \operatörsnamn {id}_{X}$ $\sim$ $X$ $Y$
- Om och är
homeomorfa ( ), så är de homotopiskt ekvivalenta; det omvända är inte sant i allmänhet. $X$ $Y$ $X\simeq Y$
En homotopi-invariant är en egenskap hos ett utrymme som är bevarat under homotopi-ekvivalens av topologiska utrymmen; det vill säga om två rum är homotopiskt ekvivalenta, så har de samma egenskap. Till exempel: anknytning , grundgrupp , Euler-egenskap .

Om på någon delmängd för alla med , så kallas det homotopi med avseende på och homotopi med avseende på . $A\delmängd X,\;F(t,a)=f(a)$ $t$ $a\i A$ $F$ $A$ $f$ $g$ $A$

En mappning som är homotopisk till en konstant, det vill säga en mappning till en punkt, kallas kontraktibel eller homotopisk till noll .

Variationer och generaliseringar

En isotopi är en homotopi av ett topologiskt utrymme med avseende på ett topologiskt utrymme där, för alla, kartläggningen är en homeomorfism på . $X$ $Y$ $f_{t}\kolon X\till Y,\;t\i [0,1]$ $t$ $med$ $X$ $f_{t}(X)\delmängd Y$

En kartläggning kallas en svag homotopiekvivalens om den inducerar en isomorfism av homotopigrupper . Ett delrum av ett topologiskt utrymme så att inneslutningen är en svag homotopi-ekvivalens kallas ett representativt delrum . $f\kolon X\till Y$ $A$ $X$ $A\delmängd X$

Om och det finns godtyckliga buntar över , så kallas homotopin fibervis om morfismerna är fibervis homotopa, om det finns en fibervis homotopi för vilken likheterna och morfismen är fibervis homotopiekvivalens, om det finns en morfism sådan att och är fibervis homotopa Buntar och tillhör samma fibervisa homotopityp om det finns minst en skiktad ekvivalens $\varphi :E\to X$ $\varphi ':E'\to X$ $x,$ $f_{t}:E\to E'$ $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ $f,g:E\to E'$ $f_{t}:E\to E',$ $f_{0}=f$ $f_{1}=g.$ $f:E\to E'$ $g:E'\to E$ $gf$ $fg$ $\mathrm {Id} .$ $E$ $E'$ $f:E\to E'.$

Se även

Litteratur

Vasiliev V. A. Introduktion till topologi. - M. : FAZIS, 1997. - 132 sid. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Inledande kurs i topologi. Geometriska huvuden. — M .: Nauka, 1977
Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971