Gravitationsproblem med N-kroppar

N -kroppens gravitationsproblem är ett klassiskt problem med himmelsk mekanik och Newtons gravitationsdynamik .

Den är formulerad enligt följande.

Det finns N materiella punkter i tomrummet , vars massor är kända { m i }. Låt den parvisa interaktionen av punkter vara föremål för Newtons gravitationslag och låt gravitationskrafterna vara additiv . Låt de initiala positionerna och hastigheterna för varje punkt r i | t = 0 = ri0 , vi | _ t = 0 = vio . Det krävs att man hittar positionerna för punkterna för alla efterföljande tidpunkter.

Matematisk formulering av N -kroppens gravitationsproblem

Utvecklingen av ett system av N graviterande kroppar ( materialpunkter ) beskrivs av följande ekvationssystem:

var  är massan, radievektorn och hastigheten för den i- :te kroppen respektive ( i varierar från 1 till N ), G  är gravitationskonstanten . Massorna av kroppar, såväl som positioner och hastigheter vid det första ögonblicket anses vara kända. Det är nödvändigt att hitta positionerna och hastigheterna för alla partiklar vid ett godtyckligt ögonblick.

Analytisk lösning

Fallet med en ensam punkt är inte föremål för övervägande av gravitationsdynamik. Uppförandet av en sådan punkt beskrivs av Newtons första lag . Gravitationsinteraktion är åtminstone en parakt.

Lösningen på tvåkroppsproblemet är den barycentriska systembanan (inte att förväxla med Keplerfältets centrala omloppsbana). I full överensstämmelse med den ursprungliga formuleringen av problemet är lösningen av tvåkroppsproblemet helt okänslig för numreringen av punkter och förhållandet mellan deras massor. Keplers fälts centrala omloppsbana uppstår genom att passera till gränsen . I det här fallet går poänglikheten förlorad: det antas vara ett absolut orörligt gravitationscentrum, och den första punkten "förlorar" massan, parametern faller ur de dynamiska ekvationerna. I matematisk mening är det resulterande systemet degenerativt, eftersom antalet ekvationer och parametrar halveras. Därför blir den omvända asymptotiken omöjlig: Newtons gravitationslag följer inte av Keplers lagar. (Observera att massorna inte alls nämns i Keplers lagar.)

För trekroppsproblemet 1912 fick Karl Zundman en generell analytisk lösning i form av serier. Även om dessa serier konvergerar för vilket ögonblick som helst och med alla initiala förhållanden, konvergerar de extremt långsamt [1] . På grund av den extremt långsamma konvergensen är den praktiska användningen av Sundman-serien omöjlig [2] .

Även för trekroppsproblemet visade Heinrich Bruns och Henri Poincaré att dess allmänna lösning inte kan uttryckas i termer av algebraiska eller enkelvärdiga transcendentala funktioner av koordinater och hastigheter [2] . Dessutom är endast 5 exakta lösningar av trekroppsproblemet kända för speciella initiala hastigheter och objektkoordinater.

För närvarande, i allmänhet, kan problemet med kroppar för endast lösas numeriskt, och för Sundman-serien, även med moderna[ när? ] utvecklingsnivån för datateknik är nästan omöjlig att använda.

Numeriska metoder

Med tillkomsten av datorteknik har en verklig möjlighet dykt upp att studera egenskaperna hos system av graviterande kroppar genom att numeriskt lösa ett system av rörelseekvationer. För detta används till exempel Runge-Kutta-metoden (fjärde eller högre ordningen).

Numeriska metoder möter samma problem som analytiska metoder - när kropparna är nära varandra är det nödvändigt att minska integrationssteget , och i det här fallet ökar numeriska fel snabbt. Dessutom, med "direkt" integration, ökar antalet kraftberäkningar för varje steg med antalet kroppar ungefär som , vilket gör det nästan omöjligt att modellera system som består av tiotals och hundratusentals kroppar.

För att lösa detta problem används följande algoritmer (eller kombinationer därav):

Integraler av rörelse

Trots formlernas uppenbara enkelhet finns det ingen lösning i form av ändliga analytiska uttryck för detta problem i allmän form för . Som visas av Heinrich Bruns har många kroppsproblemet endast 10 oberoende algebraiska rörelseintegraler , som hittades på 1700-talet och som inte räcker för att integrera problemet med tre eller flera kroppar [4] [5] . Painlevé och Poincare erbjöd sina egna generaliseringar av detta teorem . Painlevé lyckades överge kravet på att beroendet av koordinater skulle vara algebraiskt, medan Poincare antog att det inte finns någon ny envärdig integral (alla klassiska integraler, förutom energiintegralen, är envärdiga funktioner). Detta sista uttalande har tydligen ännu inte bevisats noggrant i en sådan allmän formulering.

1971 kommenterade V. M. Alekseev motsvarande passage i Poincarés Celestial Mechanics [6] :

Icke-existensen av en envärdig analytisk integral i trekroppsproblemet har ännu inte bevisats med full stränghet... Det första korrekta beviset för icke-integrerbarheten hos ett ganska allmänt Hamiltonskt system tillhör Siegel [7] . Det är intressant att notera att icke-analytiska integraler är möjliga i de problem som diskuteras; deras existens följer av en teorem av Kolmogorov [8] [9] . Tvärtom, i fallet när antalet variabler är fler än två, är sannolikt även en kontinuerlig integral omöjlig [10] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ K. L. Siegel. Föreläsningar om himlamekanik. Arkivexemplar daterad 2 februari 2021 på Wayback Machine  - M .: IL, 1959.
  2. ↑ 1 2 A.P. Markeev. Trekroppsproblemet och dess exakta lösningar  // Soros Educational Journal . - 1999. - Nr 9 . ( Internet Archive artikelkopia )
  3. ↑ Trädkod - Programvarudistribution . Hämtad 14 september 2008. Arkiverad från originalet 2 februari 2021.
  4. ↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. bd. 11 (1887), sid. 25-96.
  5. ↑ Whitaker. Analytisk dynamik.
  6. ↑ V. V. Kozlov. Symmetrier, topologi och resonanser i Hamiltonsk mekanik. - Izhevsk, 1995.
  7. ↑ Matematik. - 1961. - Nr 5, nummer. 2. - S. 129-155.
  8. ↑ Kolmogorov A. N. // DAN, 1954, 48, nr 4, 527-530
  9. ↑ Arnold V. I. // UMN, 1963, 18, nr 5-6
  10. ↑ Arnold V. I. // DAN, 1964, 154, nr 1, 9-12.

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger
 Banor