Groupoid (kategoriteori)

En groupoid i kategoriteori är en kategori där alla morfismer är isomorfismer. Groupoider kan ses som en generalisering av grupper : kategorin som motsvarar gruppen har exakt ett objekt och en pil för varje element från , pilarnas sammansättning anges som multiplikationen av motsvarande element i gruppen, där varje pil är en isomorfism; således kan uppsättningen av pilar för en groupoid betraktas som en uppsättning med en delvis definierad binär multiplikationsoperation, så att det för varje element finns en vänster och höger invers, samt en vänster och höger enhet genom multiplikation. $G$ $g$ $G$

Groupoider ersätter naturligt symmetrigrupper i kategoriteorin och uppstår i klassificeringen av klasser av isomorfa objekt.

Varje kategori som är en grupp är en groupoid. För en godtycklig kategori är en groupoid en underkategori vars objekt sammanfaller med objekten och morfismer är alla möjliga isomorfismer i . $C$ $D\hookrightarrow C$ $C$ $C$

För ett bananslutet topologiskt utrymme definieras dess fundamentala gruppoid som en 2-kategori , vars objekt alla är punkter från , och pilarna från till motsvarar alla möjliga (geometriska) banor från till : $X$ $\Pi _{1}(X)$ $X$ $x\i X$ $y\in X$ $x$ $y$

f\kolon [0;1]\till X,~f(0)=x,\;f(1)=y

De två funktionerna och ger samma sökväg om det finns , så eller . Sammansättningen av pilarna ges av sammansättningen av banorna: $f$ $g$ $s:[0;1]\till [0;1]$ $f=g\cirklar$ $g=f\cirklar$

fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{ fall}}

En 2-morfism från till är en homotopi från till . En fundamental groupoid är en kategorisering av den fundamentala gruppen . Dess fördel är att valet av en markerad punkt inte krävs i utrymmet, så det finns inga problem med den icke-kanoniska isomorfismen av grundläggande grupper på olika punkter eller med utrymmen som har flera sammankopplade komponenter. Grundslinggruppen från en punkt uppstår som gruppen av 2-isomorfa automorfismer av objektet . $f$ $g$ $f$ $g$ $x\i X$ $x\in \Pi _{1}(X)$

Kategorin av vektorbuntar av rang över ett sammandragbart utrymme med icke-degenererade avbildningar bildar naturligt en groupoid; I detta avseende introduceras konceptet med en djerba (vilket är ett särskilt fall av en stack ), som är en struktur på kategorin av skivor av en given typ. Gerbs är geometriska föremål som klassificeras av kohomologigrupper , där finns en bunt av grupper på . Konceptet är särskilt viktigt när det gäller icke-abelia-grupper . $n$ $H^{2}(X,{\mathcal {G}})$ ${\mathcal {G}}$ $X$ ${\mathcal {G}}$

Litteratur

McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktioner och naturliga transformationer // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .