Stjärna Hodge

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Hodge-stjärnan är en viktig linjär operator från rymden av q - vektorer till rymden av ( n − q )-former . Den metriska tensorn definierar en kanonisk isomorfism mellan utrymmena för q - former och q -vektorer, så vanligtvis är Hodge-stjärnan en operator från utrymmet för differentialformer av dimension q till utrymmet för former av dimension n − q.

*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\till \Lambda ^{{nq}}(T^{*}M)

Denna operatör introducerades av William Hodge .

Definition

Hjälpdefinitioner

Bestäm formen på volymen

\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{{n-1}}

\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}

där är en icke-negativ skalär på grenröret och är en helt antisymmetrisk symbol för . . Även i frånvaro av ett mått, om , är det möjligt att bestämma de kontravarierande komponenterna i volymformen. $f(X):M\to {\mathbb {R}}$ $M$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ $f(X)>0$

{\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X))){\frac {\partial }{\partial {X^{0))))\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{{n-1))))}

{\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n} }}

här matchar den antisymmetriska symbolen . $\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$

I närvaro av ett mått med förhöjda index kan det skilja sig från med tecken: . Hit och vidare $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $\Omega =\sigma {\check {\Omega ))$ $\sigma =\operatörsnamn{sgn} \det(g_{{mk}})$

Vi introducerar driften av antisymmetrisering :

A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\summa _{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))) ) (-1)^{{\operatörsnamn{sgn}(m_{1}\ldots m_{q))}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))))

. Summeringen utförs över alla permutationer av indexen inom hakparenteser, med hänsyn till deras paritet . Antisymmetriseringen av övre index definieras på liknande sätt; det är möjligt att antisymmetrisera endast över en grupp av index av samma typ. Exempel: ; .

\sigma (m_{1}\ldots m_{q})

\operatörsnamn{sgn}(\sigma )

A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m }-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Låt oss ta itu med faltningsoperationen nu. När du viker en uppsättning antisymmetriska index är det bekvämt att införa följande notation:

A^{{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots}}{}_{{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ ldots K_{k}D\ldots }}

Om tensorn är antisymmetrisk i både övre och nedre kollapsande index, är det möjligt att summera över indexen inom parentes endast över ordnade uppsättningar utan att dividera med , detta beror på att olika uppsättningar av index som skiljer sig endast i ordningen av indexen ger samma bidrag till summan. $\lgolv\;\rgolv$ $k!$ $K_{1}\ldots K_{k}$

Vi definierar nu tensorer:

(A,B)_{{M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{N_{{k+1}}\ldots N_{p }}}=A_{{\lgolv K_{1}\ldots K_{k}\rfloor M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}B^{{\lfloor K_{1}\ldots K_ {k}\rgolv N_{{k+1}}\ldots N_{p}}}

(A,B)_{{M_{1}\ldots M_{{qk))))^{{\underline {(k)}}}{}^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }}}=A_{{M_{1}\ldots M_{{qk}}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}B^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }\lgolv K_{1}\ldots K_{k}\rgolv }}

Indexet (k) anger antalet index över vilka faltningen utfördes. Om detta inte kan leda till oklarhet, kommer (k) att utelämnas. Ovanstående tensorer kan skilja sig (eller kanske inte skilja sig) endast genom tecken.

Allmän definition av en Hodge-stjärna

Med hjälp av volymformen och polyvektorn kan vi introducera en operation som omvandlar en polyvektor av en grad till en differentialform av en grad , och en invers operation som transformerar en form av en grad till en polyvektor av en grad $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $*$ $B$ $sid$ $*B$ $np$ $*^{{-1}}$ $A$ $q$ $*^{{-1}}A$ $nq$

*B=(\Omega ,B)^{{(p)}}

*^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{\underline {(q)))}

Denna operation kallas Hodge-stjärnan eller Hodge -dualiteten . I komponenter ser det ut så här:

(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{ q}}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Sedan och , har vi etablerat en en-till-en-överensstämmelse mellan differentiella former av grad q och polyvektorer av grad nq $*^{{-1}}*B=B$ $**^{{-1}}A=A$

Förutom operatörerna och introducerar vi ett par operatörer: och , som skiljer sig från dem i tecken. $*$ $*^{{-1}}$ ${\kolla upp {*}}$ ${\check {*}}^{{-1}}$

{\check {*}}B=(\Omega ,B)^{{\underline {(p)))}

{\check {*}}^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{(q)))

Hodges stjärna i närvaro av måtten

Låt ett mått ges på vårt mångfald av dimension n . Låt oss beteckna . $g_{{mk}}$ $g=\det(g_{{mk}})$

Volymelementet eller volymformen som genereras av måtten $g_{{mk}}$ är formen In-komponenter: $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$

\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac ({\sqrt {|g|}}}{g}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n }}}={\frac {\operatörsnamn{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Eftersom vi har ett mått, kan vi göra en kanonisk isomorfism mellan polyvektorer och differentialformer:

A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{ m_{n}l_{n}}}

Därför kan vi upprätta en en-till-en-överensstämmelse mellan q-former och (nq)-former. $(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n} }}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

Ytterligare operatorer

På polyvektorer kan du introducera operatorn för att ta divergensen , vilket minskar graden av polyvektor med 1:

\delta =*^{{-1}}d*

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))={\frac {1}{f(X)}}\partial _{{M_{q}}}( f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

I närvaro av ett mått uttrycks divergensoperatorn i termer av den kovarianta derivatoperatorn , definierad med hjälp av en symmetrisk koppling som överensstämmer med måtten : $\delta$ $\nabla$

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))=(\nabla ,A)^{{\underline {(1)}M_{1}\ldots M_{{ q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g| }}}}\partial _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Ibland kallas operationen ( yttre derivata ) gradienten av differentialformer, och operationen kallas divergens. För en 1-form definierar operationen den vanliga divergensen (i närvaro av ett mått identifieras differentialformerna och polyvektorn med den kanoniska isomorfismen ) $d$ $\delta$ $\delta$

Laplacian av -formen ges av: $\Delta$ $q$ $A$

\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A

För en skalär (0-form) är Laplacian Laplace-Beltrami-operatören :

\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}({\sqrt {|g|)))}\partial _{M}{\sqrt {|g |}}g^{{MN}}\partial _{N}\varphi

För skalär . Om , då enligt Bochners formel för ett godtyckligt mått i , visas ytterligare termer som är linjära i krökning. Så i fallet $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ $q>0$ $\Delta$ $q=1$

(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

var är Ricci-tensorn konstruerad från en symmetrisk anslutning som överensstämmer med metriken. $R_{K}{}^{M}$

Källor

Föreläsningar av M. G. Ivanov på kursen "Geometriska metoder i klassisk fältteori". http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html