Eudoxus av Knidos

Eudoxus av Cnidus (i termer av källor: Eudoxus , annan grekisk Εὔδοξος , lat.  Eudoxus ; ca 408 f.Kr.  - ca. 355 f.Kr. ) - antik grekisk matematiker , mekaniker och astronom . Han studerade också medicin, filosofi och musik ; var känd som talare och jurist.

Omnämnt upprepade gånger av gamla författare. Skrifterna av Eudoxus själv har inte kommit ner till oss, men hans matematiska upptäckter anges i Euklids element . Bland hans elever fanns Callippus , Menechmus och Dinostratus .

Den vetenskapliga skolan Eudoxus spelade en stor roll i utvecklingen av antik astronomi och matematik . Vetenskapshistoriker tillskriver Eudoxus antalet grundare av integralkalkyl och teoretisk astronomi [1] . I synnerhet skapade Eudoxus teorin om geometriska storheter (den uråldriga analogen av reella tal ), utmattningsmetoden (prototypen för analysen av kurvlinjära figurer) och den första teoretiska modellen av himlakropparnas rörelse , en reviderad version av vilken var senare anges i Ptolemaios 's Almagest .

Uppkallad efter Eudoxus:

• Eudoxuskurva ;
• en krater på månen ;
• krater på Mars .

Biografi

Lite är känt om Eudoxus liv. Född i Cnidus , sydvästra Mindre Asien . Han studerade medicin med Philistion på Sicilien , sedan matematik (med Pythagorean Archytas i Italien ), gick sedan med i Platons skola i Aten [2] . Han tillbringade ungefär ett år i Egypten , studerade astronomi i Heliopolis . Senare flyttade Eudoxus till staden Cyzicus vid Marmarasjön , grundade sin egen skola för matematik och astronomi där, föreläste om filosofi, astronomi och meteorologi [3] .

Omkring 368 f.Kr. e. Eudoxus, tillsammans med några av eleverna, återvände till Aten. Han dog i sitt hemland Knidos, omgiven av ära och ära. Diogenes Laertes ger några detaljer: Eudoxus dog vid 53 års ålder, han hade tre döttrar och en son som hette Aristagoras [4] .

Astronomi

Eudoxus kan betraktas som skaparen av antik teoretisk astronomi som en oberoende vetenskap. I Cyzicus byggde han ett observatorium där man för första gången i Hellas gjorde systematiska observationer av himlen. Eudoxus skola producerade den första stjärnkatalogen i Grekland [5] . Hipparchus nämnde namnen på två astronomiska verk av Eudoxus: "Fenomen" och "Spegel" [6] .

Eudoxus var den första som löste problemet med Platon , som föreslog astronomerna att bygga en kinematisk modell där solens, månen och planeternas synbara rörelser skulle erhållas som ett resultat av en kombination av enhetliga cirkulära rörelser. Eudoxus modell bestod av 27 sammankopplade sfärer som kretsade runt jorden ( homocentrisk sfärteori ). Överensstämmelsen mellan denna modell och observationer var inte dålig för den tiden; undantaget var Mars rörelse, som rör sig ojämnt i en bana långt ifrån cirkulär, och det är extremt svårt att närma sig den genom en enhetlig rotation av sfärerna.

Ur en matematisk synvinkel förbättrades teorin om Eudoxus av Kallippus , vars antal sfärer ökade till 34. Ytterligare förbättringar av teorin förknippades med Aristoteles , som utvecklade en mekanism för att överföra rotation från yttre till inre sfärer; samtidigt ökade antalet sfärer till 56. Senare övergav Hipparchus och Claudius Ptolemaios teorin om homocentriska sfärer till förmån för teorin om epicykler , vilket gör att du mer exakt kan modellera ojämnheten i himlakropparnas uppenbara rörelse.

Eudoxus ansåg att jorden var en sfärisk kropp, han krediteras med en av de första uppskattningarna av längden på jordens meridian vid 400 000 stadia [7] , eller ungefär 70 000 km. Eudoxus försökte bestämma himlakropparnas relativa storlek. Han visste att solen var större än månen, men trodde felaktigt att förhållandet mellan deras diametrar var 9:1 [5] . Han är också krediterad för att bestämma vinkeln mellan ekliptikan och den himmelska ekvatorn , det vill säga ur en modern synvinkel, lutningen av jordens axel till planet för jordens omloppsbana, lika med 24 ° [8] . Eudoxus krediteras också med uppfinningen av det horisontella soluret .

Eudoxus var bekant med babylonisk astrologi , behandlade den föraktfullt och skilde den tydligt från astronomi: " Du bör inte lita på den minsta grad kaldéerna och deras förutsägelser och uttalanden om en persons liv, baserat på dagen för hans födelse " [9] .

Matematik

Eudoxus fick grundläggande resultat inom olika områden av matematiken. Till exempel, när han utvecklade sin astronomiska modell, avancerade han avsevärt sfärisk geometri [5] . Två klassiska teorier han skapade var dock av särskild betydelse.

Allmän teori om relationer

De gamla grekernas talsystem var begränsade till naturliga tal och deras förhållanden (bråk, rationella tal ). Men även pytagoreerna upptäckte att en kvadrats diagonal är omöjlig med dess sida, det vill säga förhållandet mellan deras längder kan inte representeras av ett rationellt tal. Det blev tydligt att Pythagoras aritmetik på något sätt måste utökas till att omfatta alla mått. Detta är vad Eudoxus gjorde. Hans teori har kommit ner till oss i utläggningen av Euklid ( Begynnelser , bok V) [10] .

Förutom siffror introducerade Eudoxus ett bredare koncept av geometrisk kvantitet , det vill säga längden på ett segment, område eller volym. Ur en modern synvinkel är siffran i detta tillvägagångssätt förhållandet mellan två homogena storheter - till exempel den undersökta och en enda standard [11] . Detta tillvägagångssätt eliminerar problemet med inkommensurabilitet. I huvudsak är Eudoxus relationsteori en geometrisk modell av reella tal . Det bör dock betonas att Eudoxus förblev trogen den gamla traditionen - han ansåg inte ett sådant förhållande som ett tal; på grund av detta, i Elementen, bevisas sedan många satser om egenskaperna hos tal på nytt för kvantiteter [12] . Erkännandet av irrationalitet som en speciell sorts siffror inträffade mycket senare, under inflytande av indiska och islamiska matematiska skolor [10] .

I början av sin konstruktion gav Eudoxus en axiomatik för att jämföra magnituder. Alla homogena kvantiteter är jämförbara med varandra, och två operationer definieras för dem: separation av en del och anslutning (ta en multipel). Kvantiteternas homogenitet formuleras som ett axiom, även känt som Arkimedes axiom : "Det sägs att kvantiteter är relaterade till varandra om de, tagna i multiplar, kan överträffa varandra" [10] . Archimedes själv, när han presenterade detta axiom, hänvisade till Eudoxus [13] .

Vidare överväger Eudoxus relationerna mellan kvantiteter och bestämmer jämlikheten för dem [14] :

De säger att kvantiteterna är i samma förhållande: den första till den andra och den tredje till den fjärde, om de lika multiplar av första och tredje samtidigt är större, eller samtidigt lika, eller samtidigt mindre än de lika många multiplerna av den andra och för det fjärde, var och en för vilken mångfald som helst, om vi tar dem i respektive ordning.

Översatt till modernt matematiskt språk betyder detta att förhållandena och är lika om en av de tre relationerna gäller för alla naturliga tal :

• eller och ;
• eller och ;
• eller och .

Faktum är att den beskrivna egenskapen innebär att ett rationellt tal inte kan infogas mellan och . Före Eudoxus användes en annan definition, genom jämlikheten av successiva subtraktioner [15] ; denna definition är likvärdig med Eudoxus, men svårare att använda. I modernt språk kan detta uttryckas som jämlikheten av fortsatta bråk för kvoterna och [16] .

Vidare härleder Eudoxus noggrant egenskaperna hos relationer: transitivitet , ordning , etc.

Dedekinds klassiska teori för att konstruera de reella talen är slående lik Eudoxus utläggning. Överensstämmelsen mellan dem är fastställd på följande sätt: låt två kvantiteter Eudox ges ; bråket tilldelas klassen om , annars - till klassen . Sedan klasserna och definiera en Dedekind avsnitt av fältet rationella tal . Det återstår att identifiera förhållandet enligt Eudoxus med detta Dedekind-nummer [17] .

Observera dock att Eudoxus inte har en analog till kontinuitetsakxiomet , och det följer inte från någonstans att något avsnitt definierar ett reellt tal [17] .

Utmattningsmetod

Detta är en slags antik analys av kurvlinjära figurer. Skälet för denna metod förlitar sig inte på faktiska infinitesimals , utan inkluderar implicit begreppet en gräns . Namnet "utmattningsmetoden" föreslogs 1647 av Gregoire de Saint-Vincent , i antiken hade metoden inget speciellt namn. Euclid beskrev teorin om utmattningsmetoden i bok X av elementen , och i bok XII använde han den för att bevisa flera satser.

Metoden var som följer: för att hitta arean (eller volymen) för en viss figur inskrivs en monoton sekvens av andra figurer i denna figur och det bevisades att deras ytor (volymer) på obestämd tid närmar sig arean (volymen) för den önskade figur. Sedan beräknades gränsen för sekvensen av områden (volymer), för vilken hypotesen lades fram att den är lika med något A och det bevisades att motsatsen leder till en motsägelse. Eftersom det inte fanns någon allmän teori om gränser (grekerna undvek begreppet oändlighet), upprepades alla dessa steg, inklusive motiveringen av gränsens unika karaktär, för varje problem [18] .

I denna form passade utmattningsmetoden väl in i den strikt deduktiva konstruktionen av antik matematik, men den hade flera betydande nackdelar. För det första var det exceptionellt skrymmande. För det andra fanns det ingen generell metod för att beräkna gränsvärdet för A; Arkimedes , till exempel, härledde det ofta från mekaniska överväganden eller gissade helt enkelt intuitivt. Slutligen är denna metod inte lämplig för att hitta områden med oändliga siffror [18] [19] .

Genom att använda utmattningsmetoden bevisade Eudoxus rigoröst ett antal upptäckter som redan var kända under dessa år ( cirkelns yta , volymen av en pyramid och en kon ) [18] .

Denna metod blev mest fruktbar i händerna på den enastående anhängaren av Eudoxus, Archimedes , som kunde förbättra den avsevärt och skickligt tillämpade den på många nya upptäckter [18] . Under medeltiden använde europeiska matematiker också metoden för utmattning, tills den först ersattes av den mer kraftfulla och tekniska metoden för odelbara , och sedan av kalkyl .

Se även

• Astronomi i det antika Grekland
• Matematikens historia
• Matematik i antikens Grekland

Anteckningar

1. ↑ Boyer Carl B. A History of Mathematics. — 2:a upplagan. - John Wiley & Sons < Inc., 1991. - P. 92. - 736 sid. — ISBN 978-0471543978 .
2. ↑ Rozhansky I.D. Antik vetenskap. - M. : Nauka, 1980. - S. 97. - 198 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia).
3. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 95-96.
4. ↑ Diogenes Laertius, 1979 .
5. ↑ 1 2 3 Bashmakova I. G., 1958 , sid. 306-308.
6. ↑ Rozhansky I.D. Antik vetenskap. - M. : Nauka, 1980. - S. 104. - 198 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia).
7. ↑ James Oliver Thomson. Den antika geografins historia. Biblo & Tannen Publishers, Cambridge: Cambridge University Press, 1948, ISBN 0-8196-0143-8 , sid. 116.
8. ↑ Andrew Gregory. Eudoxus, Callippus and the Astronomy of the Timaeus Arkiverad 30 december 2013 på Wayback Machine , sid. 23: "Vi vet inte vilket värde för ekliptikans lutning som användes av Eudoxus och Callippus, även om 24°, 1/15 av en cirkel, är vanligt förekommande."
9. ↑ Van der Waerden, 1959 , sid. 188.
10. ↑ 1 2 3 History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 96-101.
11. ↑ Så här definierades det allmänna talbegreppet av Newton och andra matematiker från New Age.
12. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , sid. 309-323.
13. ↑ Bourbaki, 1963 , sid. 148.
14. ↑ Euclid, 1948 , volym V.
15. ↑ Topeka av Aristoteles
16. ↑ Von Fritz, Kurt. "Upptäckten av inkommensurabilitet av Hippasus av Metapontum." Annals of mathematics (1945): 242-264.
17. ↑ 1 2 History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 97-98, 101.
18. ↑ 1 2 3 4 History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 101-105.
19. ↑ Bourbaki, 1963 , sid. 168-169.

Litteratur

• Bashmakova I. G. Föreläsningar om matematikens historia i antikens Grekland // Historisk och matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr 11 . - S. 306-346 .
• Bourbaki N. Matematikens arkitektur. Essäer om matematikens historia. - M . : Utländsk litteratur, 1963.
• Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. — M .: GIFML, 1959.
• Geiberg I. L. Naturvetenskap och matematik i den klassiska antiken. - M. - L. : ONTI, 1936.
• Diogenes Laertes . Om berömda filosofers liv, läror och ordspråk, bok VIII . - M . : Utländsk litteratur, 1979.
• Eremeeva A.I., Tsitsin F.A. Astronomis historia. - M . : Publishing House of Moscow State University, 1989. - ISBN 5-211-00347-0 .
• Zhitomirsky SV Antik astronomi och orphism. - M. : Janus-K, 2001. - ISBN 5-8037-0072-X .
• Zhitomirsky SV Planetary hypothesis of Eudoxus and ancient mythology // Astronomy of ancient societies. - M . : Nauka, 2002. - S. 311-314. — ISBN 5-02-008768-8 .
• Zaitsev A.I. Eudoxus av Knidos roll i utvecklingen av astronomisk vetenskap i antikens Grekland  // Några problem i den antika vetenskapens historia: Samling av vetenskapliga artiklar / Ed. ed. A. I. Zaitsev,I. Kozlov - L .: Main Astronomical Observatory , 1989. - S. 116-120 . Arkiverad från originalet den 8 juli 2013.
• Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
• Kolchinsky I.G., Korsun A.A., Rodriguez M.G. Astronomer: En biografisk guide. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare - Kiev: Naukova Dumka, 1986. - 512 s.
• Lishevsky V.P. Den första astronomen // Jorden och universum. - 1992. - Nr 5 . - S. 43-44 .
• "Början" av Euklid . - M. - L. : GTTI, 1948. - T. V.
• Pannekoek A. Astronomis historia. — M .: Nauka, 1966.

• Fowler DH Eudoxus: Parapegmata och proportionalitet // Forntida och medeltida trender inom de exakta vetenskaperna. - Stanford: CSLI Publications, 2000. - P. 33-48.
• Goldstein BR, Bowen AC En ny syn på tidig grekisk astronomi // Isis. - 1983. - Nr 74 (273) . - S. 330-340.
• Knorr WR Platon och Eudoxus om planetrörelserna // Journal for the History of Astronomy. - 1990. - Nr 21 . - s. 313-329.
• Mendell H. Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes // Centaurus. - 1998. - Nr 40 . - S. 177-275.
• Riddel RC Eudoxan matematik och de eudoxanska sfärerna // Archive for History of Exact Sciences . - 1979. - Nr 20 . - S. 1-19.
• Wright L. Eudoxus astronomi: geometri eller fysik? // Hingst. Hist. och Phil. sci. - 1973. - Nr 4 . - S. 165-172.
• Yavetz I. Om Eudoxus homocentriska sfärer // Archive for History of Exact Sciences . - 1998. - Nr 52 . - s. 221-278.
• Yavetz I. En ny roll för Eudoxus flodhäst // Archive for History of Exact Sciences . - 2001. - Nr 56 . - S. 69-93.

Länkar

• Rodin A. V. Evdoks (New Philosophical Encyclopedia) . Hämtad: 27 juni 2015. (obestämd)
• John J. O'Connor och Edmund F. Robertson . Eudoxus of Cnidus  är  en biografi på MacTutor- arkivet .
• McConnell CS Models of Planetary Motion from Antiquity to the Renaissance  (engelska)  (länk ej tillgänglig) . Hämtad 8 november 2014. Arkiverad från originalet 19 juli 2011.
• Mendell H. Eudoxos av Knidos (Eudoxus av Cnidus): astronomi och homocentriska sfärer  (engelska) . Hämtad 8 november 2014. Arkiverad från originalet 16 maj 2011.
• Vicentini M. Modeller för planetarisk rörelse: från de homocentriska sfärerna till epicykler och heliocentriska banor  (engelska)  (otillgänglig länk - historia ) . Hämtad: 8 november 2014.

Tematiska platser	zbMATH Öppna Arkiv för matematikens historia MacTutor
Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron italienska Litet Brockhaus och Efron Real Dictionary of Classical Antiquities Kroatisk Britannica (online) Brockhaus Anmärkningsvärda namndatabas Treccani Universalis Granatäpple
I bibliografiska kataloger BIBSYS: 90283808 BNC : a10081495 BNE : XX919717 BNF : 12812945z GND : 11853131X ISNI : 0000 0001 0869 7437 J9U : 987007260797105171 LCCN : n85011976 NLG : 45454 NLP : A22333332 NTA : 069951217 NUKAT : n2006110693 LIBRIS : pm1333k74zk4zkm SUDOC : 068529937 VcBA : 495/29771 VIAF : 10637157 , 653145857104922922306 WorldCat VIAF : 10637157 , 653145857104922922306