Riemannproblemet om förfallet av en godtycklig diskontinuitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 mars 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Riemann-problemet med sönderfallet av en godtycklig diskontinuitet är problemet med att konstruera en analytisk lösning på kontinuummekanikens icke-stationära ekvationer , som tillämpas på sönderfallet av en godtycklig diskontinuitet [1] . Helt löst i en begränsad krets av specialfall - för ekvationerna av gasdynamik för en idealgas och några mer exakta approximationer (den så kallade gasen med en två-term tillståndsekvation ) och ekvationer av teorin om grunt vatten . Lösningen för ekvationerna för magnetisk gasdynamik kan uppenbarligen konstrueras upp till behovet av en numerisk lösning av en ganska komplicerad vanlig differentialekvation.

Staging

Det endimensionella problemet med diskontinuitetssönderfall håller på att lösas - det vill säga det antas att före det första ögonblicket, två regioner i rymden med olika värden på termodynamiska parametrar (för gasdynamik är detta densiteten, hastigheten, och gasens tryck) separerades av en tunn skiljevägg, och vid det första ögonblicket avlägsnas skiljeväggen. Det krävs att man konstruerar en lösning (det vill säga beroendet av alla termodynamiska parametrar på tid och koordinater) för godtyckliga initiala värden för variablerna. $t=0$

Lösningen på problemet med sönderfallet av en godtycklig diskontinuitet är att bestämma det gasdynamiska flödet som uppstår vid . Med andra ord, vi talar om att lösa Cauchy-problemet för gasdynamikens ekvationer , där de initiala villkoren ges i form av en godtycklig diskontinuitet som beskrivs ovan. $t>0$

Lösning

Det visar sig att för ekvationssystem skrivna i divergerande form kommer lösningen att vara sig själv lik .

Lösningen söks i form av en uppsättning elementära vågor, bestämda av strukturen hos ekvationssystemet. I synnerhet för gasdynamik är dessa: chockvåg , sällsynthetsvåg , kontaktdiskontinuitet . Låt oss presentera lösningen i explicit form för det speciella fallet med en idealgas i vila med adiabatisk exponent . Låt i det första ögonblicket trycket , densiteten och hastigheten ha formen: $\gamma$ $P$ $\rho$ $v$

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$P_{R}$

och - vågen går till höger. Sedan vid ett godtyckligt ögonblick har lösningen formen $P_{L}>P_{R}$ $t$

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>dt$
	orörd materia	sällsynthetsvåg	Region mellan sällsynt vågfront och kontaktdiskontinuitet	Området mellan kontaktdiskontinuiteten och stötvågsfronten	orörd materia
$v(x)$	$0$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t))$	$v_{2}$	$v_{2}$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{ \frac {2}{\gamma -1}}$	$\rho _{2}$	$\rho_{1}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$P_{R}$

Här är ljudhastigheten i det opåverkade mediet till vänster, , , , är gasparametrarna och ljudhastigheten mellan stötvågsfronten och kontaktdiskontinuiteten, , , är gasparametrarna mellan kontaktdiskontinuiteten och stötvågen, och är stötvågens hastighet. Dessa fem parametrar bestäms från ett icke-linjärt ekvationssystem som motsvarar lagarna för bevarande av energi, massa och momentum: ${\displaystyle c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho _{2}$ ${\displaystyle c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho_{1}$ $D$

{\displaystyle \displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2))))

\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}

\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1 )\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}

\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma } }}

\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\ gamma -1))\left(1-\left({\frac {\rho _{2)){\rho _{L))}\right)^{\frac {\gamma -1}{2)) \höger)

De tre första ekvationerna här motsvarar Hugoniot-relationerna för en idealgas [2] , den fjärde och femte - till relationerna i sällsynthetsvågen [3] .

Applikation

Lösningen av Riemann-problemet finner tillämpning i numeriska metoder för att lösa icke-stationära problem med stora diskontinuiteter. Det är på lösningen (exakt eller ungefärlig) av Riemanns problem med diskontinuitetsförfall som Godunovmetoden för att lösa system av icke-stationära ekvationer av kontinuummekanik är baserad.

Anteckningar

↑ Riemann, Bernard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Deutsch) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. - 1860. - T. 8 . - S. 43-66 . Arkiverad från originalet den 24 juli 2020.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fysik för stötvågor och hydrodynamiska fenomen vid hög temperatur. - Moskva: Nauka , 1966. - S. 51. - 688 sid.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fysik för stötvågor och hydrodynamiska fenomen vid hög temperatur. - Moskva: Nauka , 1966. - S. 41. - 688 sid.