Inversion (geometri)

Inversion (från latin inversio "omvändning") med avseende på en cirkel är en transformation av det euklidiska planet , som översätter generaliserade cirklar (cirklar eller räta linjer) till generaliserade cirklar, där en av cirklarna punktvis översätts till sig själv.

Definition

Låt någon cirkel ges i det euklidiska planet med ett centrum (kallas inversionspolen , eller inversionscentrum , denna punkt stansas ut) och en radie . Inversionen av en punkt med avseende på är en punkt som ligger på strålen så att $\Gamma$ $O$ $R$ $P$ $\Gamma$ $P'$ $OP$

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Inversion omvandlar den inre delen av cirkeln till den yttre och vice versa.

Ofta läggs en "punkt i oändligheten" till planet och betraktas som omvänt , och - omvänt . I detta fall är inversionen den bijektiva transformationen av detta utökade "cirkulära plan" . $\infty$ $O$ $O$ $\infty$

Inversionen av ett euklidiskt utrymme med avseende på en sfär och inversionen i euklidiska utrymmen med högre dimensioner definieras på liknande sätt.

Egenskaper

Inversion kring en cirkel centrerad på O har följande grundläggande egenskaper: $\Gamma$

En inversion är en involution : om punkten P går till punkten Q , så går punkten Q till punkten P.
Linjen som går genom O går in i sig själv.
En rät linje som inte går genom O går in i en cirkel som går genom O med punkt O punkterad ; och vice versa, cirkeln som går genom O går in i en rät linje som inte går genom O .
En cirkel som inte passerar genom O går in i en cirkel som inte passerar genom O (och bilden av dess centrum är inte bildens mitt).
Inversionen är en konform avbildning av det andra slaget (d.v.s. den bevarar vinklarna mellan kurvorna och vänder orienteringen ).

Inversion med avseende på Apollonius-cirkeln , definierad av , byter punkterna och . $k={\tfrac {PA}{PB}}$ $A$ $B$
En cirkel eller en linje vinkelrät mot , går in i sig själv. $\Gamma$

Notera

I teorin om cirklar och inversion sägs två cirklar som skär varandra i räta vinklar vara ortogonala ( vinkelräta ). Cirklar kan betraktas som ortogonala om de bildar en rät vinkel med varandra. Vanligtvis är vinkeln mellan kurvorna vinkeln mellan deras tangenter ritade vid deras skärningspunkt.
I teorin om cirklar och inversion är en linje vinkelrät mot en cirkel om den passerar genom mitten av den senare. $\Gamma$

Byggnad

Du kan få bilden P' av en punkt P i inversion kring en given cirkel med centrum O enligt följande [1] :

Om avståndet från P till O är större än cirkelns radie, rita en tangent till cirkeln från P , då kommer vinkelrät till linjen OP från kontaktpunkten att skära denna linje vid den önskade punkten P' .
Om avståndet från P till O är mindre än cirkelns radie, rita genom P a vinkelrätt mot OP , och genom punkten för dess skärningspunkt med cirkeln - en tangent till den, som kommer att skära OP i den önskade punkten P' .
Om avståndet från P till O är lika med cirkelns radie, kommer bilden av P att sammanfalla med sig själv.

Koordinera representationer

Kartesiska koordinater

Inversionen kring enhetscirkeln centrerad vid origo ges av

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{ 2}}}\right)

Om en punkt i planet ges av en komplex koordinat , då kan detta uttryck representeras som $z=x+iy$

{\displaystyle z\mapsto ({\bar {z)))^{-1))

var är det komplexa konjugerade talet för . Denna funktion av en komplex variabel är antiholomorphic , vilket i synnerhet innebär att inversionen är konform. ${\barz}$ $z$

I det allmänna fallet ges inversionen med avseende på en cirkel med ett centrum i en punkt och en radie av relationen $O=(x_{0},y_{0})$ $r$

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+ (y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2 }+(y-y_{0})^{2}}}\right)

Polära koordinater

Inversionen kring en cirkel med radie centrerad vid origo ges av $r$

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

Applikationer

Tillämpningen av inversion löser
- Apollonius uppgift ,
- Ptolemaios identitet .

Lipkin-Posselier-mekanismen är baserad på egenskaperna för inversion .

Med hjälp av inversion bevisas Mohr-Mascheroni-satsen , som säger att alla konstruktioner som kan göras med en kompass och rätning kan göras med en enda kompass (en rät linje anses vara byggd om två av dess punkter är kända) [ 2] [3]

Det finns ett bevis för egenskaperna hos Apollonius-cirkeln , baserat på inversionsegenskapen. [fyra]

Genom att använda inversion bevisas Steiners porism : beviset använder det faktum att det för alla icke-korsande cirklar finns en inversion som förvandlar dem till koncentriska cirklar.

Med inversion bevisas det att två arkimediska tvillingcirklar i arbelos är lika . [2]

Med hjälp av inversion bevisas egenskaperna hos cirklar i porismen av Pappus av Alexandria . [2]

Med hjälp av inversion bevisas fjärilssatsen . [2]

Variationer och generaliseringar

Inversion med avseende på en konisk sektion

Det är möjligt att definiera en inversion med avseende på en godtycklig icke-degenererad konisk sektion , med den enda skillnaden att kvantiteten kommer att vara det (variable) avståndet från mitten av motsvarande kurva (i fallet med en ellips och hyperbel ) till skärningspunkterna för den kurvan med en linje . $R$ $O$ $OP$

I fallet med inversion med avseende på en hyperbel, beroende på sektorn där punkten mellan asymptoterna är belägen , är fallet möjligt när linjen inte skär hyperbeln. Sedan, för beräkningen, tas skärningspunkten för denna linje med den konjugerade hyperbolen (om inte punkten ligger på asymptoten), och motsvarande värde tas med ett minustecken, det vill säga strålen riktas i riktningen mitt emot strålen . $P$ $OP$ $R$ $P$ $R^2$ $OP'$ $OP$

En inversion kring en parabel är helt enkelt en symmetrisk reflektion om den längs en rät linje parallell med parabelns axel.

En alternativ definition är inversion med avseende på koniska sektionen som mittpunkten av kordan som skärs av polarpunkten med avseende på . Men i fallet när motsvarande polar inte skär , för fullständig definition av definitionen är det nödvändigt att tillämpa denna deldefinition i motsatt riktning (det vill säga, detta är en sådan punkt som är mitten av ackordet som klipps ut av polar on ), vilket inte alltid är bekvämt. ${\mathcal {K}}$ $P$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ $P'$ $P$ $P'$ ${\mathcal {K}}$

Se även

Invers geometri
Inversion av kurvan

Anteckningar

↑ Pogorelov A.V. Geometry . - M . : Nauka , 1983. - S. 41 -42. — 288 sid.
↑ 1 2 3 4 Zhizhilkin, 2009 .
↑ Courant, 2000 .
↑ § 124 "Geometries" av A. Yu. Davidov .

Länkar

Anufrienko S. A. Symmetri med avseende på en cirkel .
Bakelman I. Ya Inversion . Populära föreläsningar i matematik , vol. 44, M., Nauka, 1966.
Zhizhilkin I. D. Inversion .. - M . : MTsNMO, 2009.
Courant R., Robbins G. Vad är matematik? . - M . : MTsMO, 2000. - S. Ch. III, § 4 .. - ISBN 5-900916-45-6.