Cauchy integral formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Cauchys integralformel är en relation för holomorfa funktioner av en komplex variabel som relaterar värdet av en funktion vid en punkt till dess värden på konturen som omger punkten.

Denna formel uttrycker en av de viktigaste egenskaperna hos komplex analys : värdet vid vilken punkt som helst inom regionen kan bestämmas genom att känna till värdena vid dess gräns.

Formulering

Låt vara en domän på det komplexa planet med bitvis jämn gräns , låt funktionen vara holomorf i , och vara en punkt inuti domänen . Då är följande Cauchy-formel giltig: $D$ $\Gamma=\partiell D$ $F Z)$ $\overline {D}$ $z_{0}$ $D$

f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz.

Formeln är också giltig om vi antar att den är holomorf inuti och kontinuerlig på förslutningen, och även om gränsen inte är bitvis slät, utan endast korrigerbar . $F Z)$ $D$ $D$

Bevis

Betrakta en cirkel med tillräckligt liten radie centrerad vid punkten . $S_{\rho }$ $\rho$ $z_{0}$

I området som begränsas av konturerna och (det vill säga består av punkterna i området , förutom punkterna inuti ), har integranden inga singulariteter, och av Cauchy-integralsatsen, integralen av den över gränsen för detta område är lika med noll. Det betyder att oavsett vi har jämställdheten $\Gamma$ $S_{\rho }$ $D$ $S_{\rho }$ $\rho$

\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz=\int \limits _{S_{\rho }}{\frac { f(z)}{z-z_{0}}}\,dz.

För att beräkna integralerna över tillämpar vi parametriseringen . $S_{\rho }$ $z=z_{0}+\rho e^{i\varphi },\ \varphi \in [0;\;2\pi ]$

Först bevisar vi Cauchy-formeln separat för fallet : $f(z)=1$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {1}{z-z_{0}}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\rho e^{i\varphi }}}i\rho e^{i\ varphi }\,d\varphi =1.

Låt oss använda det för att bevisa det allmänna fallet:

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,dz- f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)}{z-z_{0}} }\,dz-{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z_{0})}{z-z_{0}} }\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz.

Eftersom funktionen är komplex differentierbar vid punkten , alltså $F Z)$ $z_{0}$

{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z_{0})+o(1).

Integralen av är lika med noll: $f'(z_{0})$

{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}f'(z_{0})\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f'(z_{0})i\rho e^{i\varphi }\,d\varphi =0.

Termens integral kan göras godtyckligt liten för . Men eftersom det inte alls beror på betyder det att det är lika med noll. Som ett resultat får vi det $o(1)$ $\rho \to 0$ $\rho$

{\frac {1}{2\pi i))\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0))}\,dz-f(z_ {0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{S_{\rho }}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z- z_{0}}}\,dz=0.

Konsekvenser

Cauchy-formeln har många olika konsekvenser. Detta är nyckelsatsen i all komplex analys. Här är några av dess konsekvenser:

Analyticitet av holomorfa funktioner

I närheten av någon punkt från regionen där funktionen är holomorf, sammanfaller den med summan av en potensserie : $z_{0}$ $F Z)$

f(z)=\summa \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}

dess konvergensradie är dessutom inte mindre än radien för cirkeln centrerad vid den punkt där funktionen är holomorf, och koefficienterna kan beräknas med hjälp av integralformler: $z_{0}$ $F Z)$ $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\ ,dz

Dessa formler antyder Cauchys ojämlikheter för koefficienterna för funktioner holomorfa i skivan : $c_n$ ${|z-z_{0}|<r}$

c_{n}\leqslant r^{-n}M(r)

där är den maximala modulen för funktionen på cirkeln , och av dem är Liouvilles sats om avgränsade hela analytiska funktioner : om en funktion är holomorf i hela det komplexa planet och avgränsad, är den en konstant. $Herr)$ $F Z)$ ${|z-z_{0}|=r}$

Dessutom, genom att kombinera formlerna för koefficienterna med satsen om holomorfin för summan av en potensserie med en konvergensradie som inte är noll och formeln som uttrycker koefficienterna för potensserien i termer av derivator av dess summa

c_{n}={{f^{{(n)}}(z_{0})} \över n!}

en integrerad representation av derivatorna av funktionen erhålls : $F Z)$

f^{{(n)}}(z_{0})={n! \over 2\pi i}\int \limits _{{\Gamma }}{f(z) \over (z-z_{0})^{{n+1}}}\,dz.

Derivatuppskattningar som liknar Cauchy-ojämlikheterna ger ett teorem om ekvikontinuiteten för en familj av holomorfa funktioner i en avgränsad domän om denna familj är enhetligt avgränsad i . I kombination med Arzela-Ascolis sats får vi Montels kompakta funktionsfamiljs sats : från varje enhetligt avgränsad familj av funktioner som är holomorfa i en avgränsad domän kan man välja en sekvens av funktioner som konvergerar enhetligt till någon holomorf funktion. $D$ $D$ $D$ $D$

Representabilitet av holomorfa funktioner av Laurent-serien i ringformiga domäner

Om en funktion är holomorf i en domän av formen , kan den representeras i den av summan av en Laurent-serie : $F Z)$ $D$ $\{r<|z-z_{0}|<R\}$

f(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},

dessutom kan koefficienterna beräknas med integralformler: $c_n$

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\Gamma }{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\, dz,

och själva Laurent-serien konvergerar till en enhetlig funktion på varje kompakt set från . $D$ $F Z)$ $D$

Formeln för koefficienten används ofta för att beräkna integraler av en funktion över olika konturer med hjälp av algebraiska metoder och restteori . $c_{{-1}}$ $F Z)$

Klassificeringen av isolerade singulära punkter av holomorfa funktioner utförs också i termer av Laurent-serien .

Medelvärdessatser för holomorfa funktioner

Om funktionen är holomorf i cirkeln , då för varje $F Z)$ $\{|z-z_{0}|<R\}$ $r\,(0<r<R)$

f(z_{0})={1 \över 2\pi }\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\varphi })\, d\varphi ,

och även om är en cirkel med radie centrerad vid , då $B_{r}$ $r$ $z_{0}$

f(z_{0})={1 \over \pi r^{2}}\int \limits _{B_{r}}f(z)\,dx\,dy.

Från medelvärdessatserna följer principen om maximal modul för holomorfa funktioner: om en funktion är holomorf i en domän och inom dess modul har ett lokalt maximum , då är denna funktion en konstant. $F Z)$ $D$ $D$

Modulens maximala princip innebär maximiprincipen för de reella och imaginära delarna av en holomorf funktion: om en funktion är holomorf i en domän och inuti dess reella eller imaginära del har ett lokalt maximum eller minimum, så är denna funktion en konstant. $F Z)$ $D$ $D$

Unikitetssatser

Ytterligare tre viktiga resultat följer av principen om maximal modul och representabiliteten av holomorfa funktioner genom potensserier:

Schwarz lemma : om en funktion är holomorf i en cirkel , och för alla punkter från denna cirkel , så överallt i denna cirkel ; $F Z)$ ${|z|<1}$ $f(0)=0$ $z$ $|f(z)|\leqslant 1$ $|f(z)|\leqslant |z|$
unikhetsteorem för potensserier : holomorfa funktioner som har samma Taylor-serie vid en punkt sammanfaller i någon grannskap av den punkten; $z_{0}$
nollsats för en holomorf funktion : om nollorna för en funktion som är holomorf i en domän har en gränspunkt inuti , så försvinner funktionen överallt i . $F Z)$ $D$ $D$ $F Z)$ $D$

Länkar

Weisstein, Eric W. Cauchy Integral Formula på Wolfram MathWorld .
Cauchy Integral Formula Module av John H. Mathews

Litteratur

Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Per. från engelska. - 2:a uppl., reviderad. — M .: Nauka , 1980 . — 464 sid.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel: En manual för högre utbildning. - M. - L .: Statens förlag, 1927 . — 316 sid.
Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M .: Nauka , 1968 . — 472 sid.