De enklaste differentialekvationerna av första ordningen

De enklaste differentialekvationerna av första ordningen är en klass av differentialekvationer av första ordningen som är lättast möjliga att lösa och studera. Det inkluderar ekvationer i totala differentialer , ekvationer med separerbara variabler, första ordningens homogena ekvationer och första ordningens linjära ekvationer . Alla dessa ekvationer kan integreras i den slutliga formen.

Utgångspunkten för presentationen kommer att vara en första ordningens differentialekvation, skriven i den sk. symmetrisk form:

${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

där funktionerna och är definierade och kontinuerliga i någon domän . $P(t,x)$ $Q(t,x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Ekvationer i totala differentialer

Om i ekvation (1) den vänstra sidan är en total differential, det vill säga, så kallas en sådan ekvation för en ekvation i totala differentialer (ett specialfall av den så kallade Pfaff-ekvationen ). Integralkurvorna för en sådan ekvation är nivålinjerna för funktionen , dvs. bestäms av ekvationen för alla möjliga värden av en godtycklig konstant . ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matris))$ $U(t,x)$ $U(t,x)=C$ $C$

Om villkoret är uppfyllt i domänen bestäms den allmänna lösningen av ekvation (1) från ekvationen som en implicit funktion . En unik integralkurva med ekvation (1) passerar genom varje punkt i regionen . $\Omega$ $Q(t,x)\neq 0$ $U(t,x)=C$ $x=\varphi(t,C)$ $\Omega$ $x=\varphi(t,C)$

Om den aktuella domänen helt enkelt är ansluten, och derivatorna också är kontinuerliga i , är det nödvändigt och tillräckligt att villkoret för att (1) ska vara en ekvation i totala differentialer $\Omega$ ${\frac {\partial P}{\partial x)),{\frac {\partial Q}{\partial t))$ $\Omega$

{\frac {\partial P}{\partial x))={\frac {\partial Q}{\partial t))\qquad \forall (t,x)\in \Omega

(ett tecken på en ekvation i totala differentialer).

Integreringsfaktor

En kontinuerlig funktion i kallas en integrerande faktor av ekvation (1) om ekvationen är en ekvation i totala differentialer, det vill säga för någon funktion . Antalet integrerande faktorer i denna ekvation är oändligt. $\mu (t,x)\neq 0$ $\Omega$ $\mu (Pdt+Qdx)=0$ $\mu (Pdt+Qdx)=dU$ $U(t,x)$

En funktion är en integrerande faktor av ekvation (1) om och endast om den uppfyller ekvationen $\mu(t,x)$

{\frac {\partial {\left(\mu P\right)}}{\partial x}}={\frac {\partial {\left(\mu Q\right))){\partial t }}\qquad\left(2\right)

( vi antar fortfarande att domänen helt enkelt är ansluten; ekvation (2) är en konsekvens av ekvationens egenskap i totala differentialer). $\Omega$

Ekvation (2) är i allmänhet svårare att lösa än (1), men för att integrera (1) räcker det att känna till en integrerande faktor, det vill säga att hitta en lösning till ekvation (2). Vanligtvis letar de efter en lösning (2) i formen eller , men det är inte alltid möjligt. $\mu =\mu (t)$ $\mu =\mu (x)$

Lösningsalgoritm

(ett) ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix))$

(2) ${\begin{matrix}P'_{x}(t,x)=Q'_{t}(t,x)\end{matrix))$

(3) ${\begin{matrix}U'_{t}=P(t,x),U'_{x}=Q(t,x)\end{matrix))$

Ta (3.1) och integrera över variabeln t:

(*) ${\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\varphi (x)\end{matrix))$

Ersätter i (3.2):

${\begin{matrix}U'_{x}(t,x)=(\int P(t,x)dt)'_{x}+\varphi '_{x}(x)\end {matris}}$

I den resulterande jämlikheten kommer termerna som innehåller t att förstöras. Vi får :. Vi integrerar över x och ersätter i (*). ${\begin{matrix}\varphi '_{x}(x)=g(x)\end{matrix))$

Separerbara variabelekvationer

Om i ekvation (1) är detta en ekvation med separerbara variabler . Det kan skrivas i en symmetrisk form: $P(t,x)=T_{1}(t)X_{1}(x),\ Q(t,x)=T_{2}(t)X_{2}(x)$

T_{1}(t)X_{1}(x)dt+T_{2}(t)X_{2}(x)dx=0\qquad \left(3\right)

Lösningar till en ekvation med separerbara variabler
- Lösningar till ekvationen är lösningar till (3). $X_{1}(x)T_{2}(t)=0$
- Om området väljs så att , då dividerat med får vi ekvationen med separerade variabler $\Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)\neq 0\quad \forall (t,x)\in \Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)$

{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt+{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx=0.

Detta är ett specialfall av en ekvation i totala differentialer. Det är mycket lätt för honom att få en lösning i kvadraturer. Integralkurvan för ekvation (3) som går genom punkten har formen: $(t_{0},x_{0})\in \Omega$

\int \limits _{t_{0}}^{t}{{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt}+\int \limits _{x_{0}}^ {x}{{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx}=0.

Ett exempel på en differentialekvation

$y'={\frac {y}{x}}+cos^{2}{\frac {y}{x}}$