Uppkopplat utrymme

Ett anslutet utrymme är ett icke-tomt topologiskt utrymme som inte kan delas upp i två icke-tomma icke-korsande öppna delmängder.

Definition

Tomt utrymme anses vara frånkopplat.

Ett icke- tomt topologiskt utrymme kallas frånkopplat om det kan representeras som en förening av två icke-tomma icke-korsande öppna delmängder .

Ett icke-tomt topologiskt utrymme som inte är frånkopplat kallas kopplat .

En delmängd av ett topologiskt utrymme kallas anslutet om det tillsammans med sin inducerade topologi bildar ett anslutet utrymme.

Motsvarande definitioner

Låt X vara ett topologiskt rum. Då är följande villkor likvärdiga:

X är ansluten.
X kan inte delas upp i två icke-tomma icke-korsande slutna delmängder.
De enda delmängderna av X som är både öppna och stängda är den tomma mängden och hela utrymmet av X . $\varnothing$
De enda delmängderna med en tom gräns är den tomma mängden och hela utrymmet X . $\varnothing$
X kan inte representeras som en förening av två icke-tomma uppsättningar, som var och en inte skär stängningen av den andra.
De enda kontinuerliga funktionerna från X till en tvåpunktsuppsättning (med diskret topologi) är konstanter.

Relaterade definitioner

Varje ansluten delmängd av utrymmet finns i någon maximal ansluten delmängd. Sådana maximalt anslutna delmängder kallas anslutna komponenter ( anslutna komponenter , komponenter ) i rummet . $X$ $X$
- Ett utrymme där varje ansluten komponent består av en enda punkt kallas helt frånkopplad . Exempel är alla utrymmen med diskret topologi, utrymmet för rationella tal på den reella linjen och
Cantor-mängden . $\mathbb {Q}$

Om det finns en bas av ett rums topologi , bestående av anslutna öppna uppsättningar, sägs rummets topologi och själva rummet (i den topologin) vara lokalt sammankopplade .

X

X

X

Ett sammankopplat kompakt Hausdorff-utrymme kallas ett kontinuum .

Utrymmet , för två olika punkter och för vilka det finns öppna disjunkta uppsättningar och sådana , kallas helt separat .

X

x

y

U\ni x

V\ni y

X=U\cup V

Uppenbarligen är ett helt separat utrymme helt frånkopplat, men det omvända är inte sant. Tänk på en uppsättning som består av två kopior av uppsättningen . Vi introducerar en ekvivalensrelation av regeln och konstruerar ett kvotutrymme med kvottopologi med avseende på denna relation. Detta utrymme kommer att vara helt frånkopplat, men för två (per definition topologiskt distinkta) kopior av noll finns det inga två öppna uppsättningar som uppfyller definitionen av ett helt separat utrymme.

\mathbb {Q}

q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0

Egenskaper

I vilket topologiskt utrymme som helst är den tomma uppsättningen och enpunktsuppsättningen sammankopplade. Vissa författare anser dock inte att den tomma uppsättningen är ansluten. (Men vissa författare anser inte att det heller är en uppsättning.)
I ett anslutet utrymme har varje delmängd (förutom den tomma delmängden och hela utrymmet) en icke-tom gräns .
- Delmängder med en tom gräns är både öppna och slutna delmängder, och kallas öppna-stängda delmängder . I ett anslutet utrymme är alla clopen-delmängder triviala, antingen tomma eller sammanfallande med hela utrymmet.
Bilden av en ansluten uppsättning under en kontinuerlig mappning är ansluten.
Kopplingen av ett utrymme är en topologisk egenskap, det vill säga en egenskap som är invariant under homeomorfismer .
Stängningen av en ansluten delmängd är ansluten. $A$
- Dessutom är alla "mellanliggande" delmängder ( ) också anslutna. Med andra ord, om en ansluten delmängd är tät i , är uppsättningen också ansluten. $B$ $A\subset B \subset \bar{A}$ $A$ $B$ $B$
Låt vara en familj av anslutna uppsättningar, som var och en har en icke-tom korsning med en ansluten uppsättning . Sedan uppsättningen $\{A_{\alpha}\}$ $A$ $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

också ansluten. (Det vill säga, om en godtycklig familj av anslutna uppsättningar är limmade till en ansluten uppsättning, kommer föreningen alltid att förbli ansluten.)

Produkten av sammankopplade utrymmen är sammankopplade. Om minst en av faktorerna kopplas bort kommer produkten att kopplas bort.
Varje komponent i rymden är en sluten uppsättning. De olika komponenterna i rymden har inga gemensamma punkter. De anslutna komponenterna i en utrymmesdelmängd är de maximala anslutna undermängderna av mängden . $X$ $X$ $A$ $X$ $A$
En kontinuerlig mappning från ett anslutet utrymme till ett helt frånkopplat utrymme reduceras till en mappning till en enda punkt.
Lokalt anslutna utrymmen behöver inte vara anslutna, och anslutna utrymmen behöver inte vara lokalt anslutna.
I ett lokalt anslutet utrymme är anslutna komponenter öppna.
Alla väganslutna utrymmen är anslutna.
- Det omvända är inte sant; till exempel är stängningen av grafen för en funktion kopplad, men inte linjärt (denna uppsättning innehåller ett segment på y-axeln). $\sin\tfrac1x$ $[-1,1]$

Exempel

En pseudoarc är ett exempel på ett helt linjärt frånkopplat kontinuum.
Knaster-Kuratovsky-fläkten är ett exempel på en sådan ansluten delmängd av planet att om man tar bort en punkt från den blir den helt frånkopplad .
Mandelbrot-mängden är ett exempel på en ansluten mängd som det inte är känt om den är vägkopplad.

Variationer och generaliseringar

väganslutet utrymme