Median (matematik)

Medianen för två bråk och med positiva nämnare är ett bråk vars täljare är lika med summan av täljarna, och nämnaren är summan av nämnare av de två givna bråken: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$

{\frac {a+c}{b+d)).

Egenskaper

Medianen för två bråk är mellan dem, det vill säga

om , då .

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}

Bevis Denna egenskap är en konsekvens av relationerna

{\frac {a+c}{b+d}}-{\frac {a}{b}}={{bc-ad} \över {b(b+d)))={d \ över {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0

och

{\frac {c}{d}}-{\frac {a+c}{b+d}}={{bc-ad} \over {d(b+d)))={b \ över {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0.

Om du skriver ner 2 bråk, och sedan flera gånger mellan varje 2 närliggande bråk deras mediant, får du en Farey-serie .

Historik

Konceptet med medianen för två bråk introducerades av A.Ya Khinchin [1] i teorin om fortsatta bråk i syfte att bättre förstå det ömsesidiga arrangemanget och lagen för successiv bildning av mellanbråk. Men i teorin om fortsatta fraktioner, för studiet av intermediära fraktioner, slog termen "mediant" inte rot [2] . Inom andra matematiska vetenskaper, till exempel, i matematisk analys [3] och i teorin om vanliga differentialekvationer [4] användes egenskaperna hos medianen för n förhållanden av reella tal för att bevisa vissa påståenden, även om definitionen av begreppet av medianen gavs inte. Indirekt finns den mest utbredda användningen av medianen av n förhållanden av reella tal i tillämpad matematik, särskilt i matematisk statistik. [5] [6] [7] Men definitionen av medianen i dessa verk gavs inte heller. Maurice Kline [8] "återupptäckte" i huvudsak medianen genom att föreslå "fotbollsarithmetik" för att lägga till bråk. Detta tillägg användes av M. Kline för att bestämma den genomsnittliga prestationen för en forward fotbollsspelare i två matcher. Han övervägde också fall av fastställande av effektiviteten i handeln och medelhastigheten för en bil baserat på hastigheterna på två sektioner av banan.

För närvarande används medianen inom demografi [9] och biologi [10] .

Användningsexempel

Litteratur och anteckningar

↑ Khinchin A.Ya. Kedjeskott. – M.: Fizmatlit, 1961. 112 sid.
↑ Leng S. Introduktion till teorin om diofantiska approximationer. – M.: Mir, 1970. – 104 sid.
↑ Fikhtengolts G.M. Kurs för differential- och integralkalkyl. T.1. - M.-L.: Gostekhlit, 1947. - 680 sid.
↑ Stepanov V.V. Förlopp för differentialekvationer. - M.: Fizmatlit, 1959. - 468 sid.
↑ Salton G.A. Automatisk bearbetning, lagring och hämtning av information. – M.: Sov. radio, 1973. - 560 sid.
↑ Schwartz G. Selektiv metod. Riktlinjer för tillämpning av statistiska skattningsmetoder. – M.: Statistik, 1978. – 213 sid.
↑ Crane M., Lemoine O. Introduktion till den regenerativa metoden för modellanalys. – M.: Nauka, 1982. – 104 sid.
↑ Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet. – M.: Mir, 1984. – 434 sid.
↑ Semkin B.I., Soboleva T.A. Utvärdering av förändringstakten i den totala befolkningen i städerna Primorsky Krai // Geografi och naturresurser. Nr 4. 2005. S. 118-123.
↑ Semkin B.I., Gorshkov M.V., Varchenko L.I. Om förändringar i vattenhalten i årsskott hos barrträdsväxter i den tempererade klimatzonen // Siberian ecol. tidskrift 2008. Nr 4. T. 15. S. 537–544.