Maximum och minimum element

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 april 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett element i en delvis ordnad uppsättning kallas ett maximalt element if $M$ $A$

$\forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M).$

På samma sätt sägs ett element vara minimalt if $m\in A$

$\forall a\in A\;(a\leqslant m\Rightarrow a=m).$

Den skrivs som (i enlighet därmed skrivs minimalitetsegenskapen som ). I fallet med en linjärt ordnad mängd (till exempel i fallet med en delmängd av den reella linjen med en naturlig ordning) sammanfaller begreppet maximum (resp. minimum) elementet med begreppet största (resp. minsta ) ) element, men i det allmänna fallet skiljer sig dessa begrepp: det största elementet är alltid det maximala, det omvända är inte alltid sant, eftersom det för ett maximalt element kan existera element som inte är jämförbara med det. $M=\max A$ $m=\min A$ $\mathbb {R}$

Det finns inget maximalt element i en delmängd om det inte är avgränsat ovanifrån. Även om denna mängd är avgränsad från ovan, kan det inte finnas något maximalt element (även om både infimum och supremum finns för alla begränsade mängder). Till exempel finns det inget minimum- eller maximumelement för ett intervall . $\mathbb {R}$ $A=\left({a,b}\right)$

Litteratur

Ivanov G. E. Föreläsningar om matematisk analys. Del 1. - M . : MIPT , 2000. - 359 sid. - 800 exemplar. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Se även

Argument för maximering och minimering