Gegenbauer polynom

Gegenbauer polynom
allmän information
Formel	$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\summa _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\ alfa )_{nk}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}$
Skalär produkt	$(f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}$
Domän	$[-1,1]$
ytterligare egenskaper
Differentialekvation	$(1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\ !+\!2\alpha )f=0$
Norm	$\\|C_{n}^{(\alpha )}(z)\\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha) }{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}$
Döpt efter	Leopold Gegenbauer

Gegenbauerpolynom eller ultrasfäriska polynom i matematik är polynom ortogonala på intervallet [−1,1] med en viktfunktion . De kan uttryckligen representeras som ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!))(2z)^{n-2k},

där är gammafunktionen och betecknar heltalsdelen av talet n/2 . $\Gamma (s)$ $\lfloor n/2\rfloor$

Gegenbauerpolynomen är en generalisering av Legendre- och Chebyshev-polynomen och är ett specialfall av Jacobi-polynomen . Gegenbauerpolynomen är också relaterade till representationen av den speciella ortogonala gruppen [1] . De är uppkallade efter den österrikiske matematikern Leopold Gegenbauer (1849-1903). $SO(n)$

Genererar funktion och partiella värden för argumentet

Gegenbauer-polynomen kan definieras i termer av genereringsfunktionen [2] :

{\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha ))}=\summa _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\ alfa )}(z)t^{n}.

Eftersom genereringsfunktionen inte ändras med den samtidiga ersättningen av , , då $z\to -z$ $t\to -t$

C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),

av vilket det följer att för jämnt n innehåller Gegenbauerpolynomen endast jämna grader av z och för udda n endast udda grader av z .

Genom genereringsfunktionen kan man erhålla värdena för Gegenbauer-polynomen vid z=1 och z=0 som expansionskoefficienter respektive : ${\displaystyle (1-t)^{-2\alpha ))$ $(1+t^{2})^{-\alpha }$

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},

C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)! }}

(för jämnt n ), (för udda n ),

C_{n}^{(\alpha )}(0)=0

där standardnotationen för Pochhammer-symbolen används ,

(\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )))

Återkommande relation och specialfall

Gegenbauerpolynomen uppfyller följande återkommande relation , som kan användas för att konstruera polynom med : $n\geq 2$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n))[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )} (z)-(n+2\alfa -2)C_{n-2}^{(\alfa)}(z)].

I synnerhet [3] ,

{\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\ C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z) &=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{aligned}}

och så vidare.

Differentialekvation och relation till andra funktioner

Gegenbauers polynom uppfyller Gegenbauers differentialekvation [4]

(1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha + 1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.

När denna ekvation reduceras till Legendres differentialekvation och följaktligen reduceras Gegenbauer-polynomen till Legendre-polynomen . $\alpha ={\tfrac {1}{2))$

Gegenbauerpolynomen kan uttryckas i termer av en ändlig hypergeometrisk serie

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left( -n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}(1-z)\höger).

Gegenbauer-polynomen är ett specialfall av Jacobi-polynomen c : $P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)$ $\mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z).

Derivatan av Gegenbauerpolynomet uttrycks i termer av ett polynom med skiftade index

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{ (\alpha +1)}(z).

De kan uttryckas i form av Rodrigues formel

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!)}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma ( n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )))(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{ \ rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right ] .

Ortogonalitet och normalisering

För en given , är Gegenbauer-polynomen ortogonala på intervallet [−1,1] med viktfunktionen , dvs (för n ≠ m ) [5] , $\alfa$ ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2))$

\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2} )^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0.

De är normaliserade som [5]

\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\ alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alpha )]^{2}}}.

Komplext argumentfall

Om , var och är reella variabler (och är också reella), så kan de reella och imaginära delarna av Gegenbauer-polynomen uttryckas enligt följande: $z=x+{\rm {i}}y$ $x$ $y$ $\alfa$

{\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\summa _{k=0}^{\ lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{ (2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},

{\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\summa _{k=0}^{\ lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}} \;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.

Se även

Anteckningar

↑ Vilenkin, 1991 , sid. 415.
↑ Vilenkin, 1991 , sid. 468.
↑ Vilenkin, 1991 , sid. 439.
↑ Vilenkin, 1991 , sid. 438.
↑ 1 2 Vilenkin, 1991 , sid. 441.

Litteratur

Suetin PK Klassiska ortogonala polynom . - M. : Fizmatlit, 2007. - 480 sid. - ISBN 978-5-9221-0406-7 .
Vilenkin N. Ya. Specialfunktioner och grupprepresentationsteori / Kap. ed. Phys.-Matte. belyst. - 2:a uppl., rättad. — M .: Nauka, 1991. — 576 sid. — ISBN 5-02-014541-6 .
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Se kapitel 22

Länkar

Gegenbauer Function , functions.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial , MathWorld - mathworld.wolfram.com

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom