Lagrange-interpolationspolynomet är ett polynom av minsta grad som antar givna värden vid en given uppsättning punkter, det vill säga löser interpolationsproblemet .
Låt ett par siffror ges där alla är olika. Det krävs att man konstruerar ett polynom av högst grad , för vilket .
J. L. Lagrange föreslog följande metod för att beräkna sådana polynom:
där de grundläggande polynomen bestäms av formeln
För varje polynom har grad och
Detta innebär att , som är en linjär kombination av polynom , har grad som mest och .
Låt interpolationsnoderna vara ekvidistanta, det vill säga de uttrycks i termer av startpunkten och något fast positivt värde enligt följande:
Därav följer det
Genom att ersätta dessa uttryck i formeln för det grundläggande polynomet och ta ut produktens tecken i täljaren och nämnaren får vi
Nu kan vi införa en förändring av variabel
och få ett uttryck för grundläggande polynom i termer av , som är byggt med enbart heltalsaritmetik :
Dessa kvantiteter kallas Lagrange-koefficienter. De är inte beroende av eller på och kan därför beräknas i förväg och skrivas i form av tabeller. Nackdelen med detta tillvägagångssätt är den faktoriella komplexiteten hos täljaren och nämnaren, vilket kräver användning av lång aritmetik .
Om vi betraktar siffrorna som värdena för någon funktion vid noderna , är felet att interpolera funktionen med ett polynom lika med
där är någon mittpunkt mellan det minsta och största av talen . Förutsatt att man kan skriva
Det finns ett enda polynom av grad som inte överstiger som tar de givna värdena vid en given punkt.
BevisAntag att det finns två olika polynom av grad som mest , för vilket det är sant att för par av nummer där alla är olika, Betrakta polynomet . Genom att ersätta ( ) i det får vi det . Således har polynomet rötter och de är alla olika. Därför eftersom ett polynom som inte är noll av grad som mest har högst rötter. Därför, . ■ ■
Detta påstående är en generalisering av det faktum att det bara finns en linje genom två punkter.
Det unika med interpolationspolynomet kan också ses från SLAE :s synvinkel . Betrakta ett ekvationssystem . Det är uttryckligen skrivet som
Det kan skrivas om som ett ekvationssystem med en okänd vektor :
Matrisen i ett sådant system är Vandermonde-matrisen och dess determinant är . Följaktligen, om alla punkter är olika, är matrisen icke degenererad och systemet har en unik lösning.
Enligt Bezouts teorem är resten av divisionen med . Således kan hela systemet uppfattas som ett system av jämförelser:
Enligt den kinesiska restsatsen har ett sådant system en unik lösning modulo , det vill säga ett givet system bestämmer unikt ett gradpolynom som mest . En sådan representation av ett polynom i form av uppsättningar av rester över moduler av monomials liknar representationen av ett tal i form av rester från uppdelning i enkla moduler i systemet av restklasser . I det här fallet kan en explicit formel för Lagrangepolynomet också erhållas i enlighet med formlerna för det kinesiska teoremet : , där och .
Låt oss hitta interpolationsformeln för att ha följande värden:
Skaffa sig
Låt funktionens värden vara kända vid vissa punkter. Sedan kan vi interpolera denna funktion med Lagrange-metoden:
Det resulterande uttrycket kan användas för att approximera beräkningen av den definitiva integralen av funktionen :
Värdena på integralerna av beror inte på och de kan beräknas i förväg med hjälp av sekvensen .