Multiplikativ funktion

En multiplikativ funktion i talteorin är en aritmetisk funktion så att för alla samprimtal och , gäller följande: $f(m)$ $m_1$ $m_2$

f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)

och

f(1)=1

När det första villkoret är uppfyllt är kravet ekvivalent med att funktionen inte är identiskt lika med noll. $f(1)=1$ $f(m)$

Funktioner för vilka multiplikativitetsvillkoret är uppfyllt för alla naturliga kallas fullt multiplikativa . En funktion är fullständigt multiplikativ om och endast om relationen gäller för några naturliga tal . $f(m)$ $m_{1},m_{2}$ $f$ $x,y$ $f(xy)=f(x)f(y)$

En multiplikativ funktion sägs vara starkt multiplikativ om:

f(p^\alpha) = f(p)

för alla primtal och alla naturliga . $sid$ $\alfa$

Exempel:

funktion är antalet naturliga delare av naturliga ; $\tau(m)$ $m$
funktion är summan av naturliga delare av naturliga ; $\sigma(m)$ $m$
Euler funktion ; $\varphi(m)$
Möbius funktion . $\mamma)$
funktionen är starkt multiplikativ. $\frac{\varphi(m)}{m}$
effektfunktionen är helt multiplikativ. $f(m)=m^\alfa$

Byggnad

Det följer av aritmetikens grundläggande teorem att man godtyckligt kan ställa in värdena för en multiplikativ funktion på primtal och deras potenser, och även bestämma alla andra värden för den resulterande funktionen bestäms från multiplikativitetsegenskapen. $f(n)$ $f(1)=1;$

Produkten av alla multiplikativa funktioner är också en multiplikativ funktion.

Om är en multiplikativ funktion, då funktionen $f(m)$

g(m) = \sum_{d|m} f(d)

kommer också att vara multiplikativ. Omvänt, om funktionen som definieras av denna relation är multiplikativ, så är den ursprungliga funktionen också multiplikativ. $g(m)$ $f(m)$

Dessutom, om och är multiplikativa funktioner, kommer deras Dirichlet-faltning också att vara multiplikativ : $f(m)$ $g(m)$

h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)

Litteratur

Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. - M . : "Mir", 1998. - 703 sid. — ISBN 5-03-001793-3 .
Nesterenko Yu. V. Talteori: en lärobok för studenter. högre lärobok anläggningar. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 sid. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .