Kontinuitet för uppsättningen av reella tal

Kontinuiteten för reella tal är en egenskap hos systemet av reella tal , som uppsättningen av rationella tal inte har . Ibland talar man istället för kontinuitet om fullständigheten i systemet av reella tal [1] . Det finns flera olika formuleringar av kontinuitetsegenskapen, varav de mest kända är Dedekinds kontinuitetsprincip för reella tal , Cauchy- Cantor - principen om kapslade segment och den minsta övre gränssatsen . Beroende på den accepterade definitionen av ett reellt tal , kan kontinuitetsegenskapen antingen postuleras som $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ ett axiom - i en eller annan formulering, eller bevisas som ett teorem [2] .

Axiom för kontinuitet

I den axiomatiska konstruktionen av teorin om ett reellt tal inkluderar antalet axiom nödvändigtvis följande uttalande eller dess motsvarighet [3] :

Axiom för kontinuitet (fullständighet). Oavsett de icke-tomma uppsättningarnaoch, så att för alla två elementocholikheten gäller, det finns ett reellt talså att för allaochrelationen gäller $A\subset \mathbb {R}$ $B\subset \mathbb {R}$ $a\i A$ $b\i B$ $a\leqslant b$ $\xi$ $a\i A$ $b\i B$

a\leqslant \xi \leqslant b

Geometriskt (om vi behandlar reella tal som punkter på en linje ), om mängderna och är sådana att på tallinjen alla element i en av dem ligger till vänster om alla element i den andra, så finns det ett tal som separerar dessa två uppsättningar, det vill säga ligger till höger om alla element (utom, möjligen mest ) och till vänster om alla element (samma varning). $A$ $B$ $\xi$ $A$ $\xi$ $B$

Uppsättningen av rationella tal har inte denna egenskap. Om vi till exempel tar två uppsättningar:

A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0 ,\;x^{2}>2\},

då gäller ojämlikheten för alla element och . Det finns dock inget rationellt tal som skiljer dessa två uppsättningar åt. Detta nummer kan faktiskt bara vara , men det är inte rationellt . $a\i A$ $b\i B$ $a<b$ $\xi$ ${\sqrt {2}}$

Kontinuitetsakxiomets roll i konstruktionen av kalkyl

Betydelsen av kontinuitetsaxiomet är sådan att utan det är en rigorös konstruktion av matematisk analys omöjlig. För att illustrera presenterar vi flera grundläggande analyspåståenden, vars bevis är baserat på kontinuiteten i reella tal:

( Weierstrass sats ). Varje avgränsad monotont ökande sekvens konvergerar
( Bolzano-Cauchys sats ). En kontinuerlig funktion på ett segment som tar värden av olika tecken i sina ändar försvinner vid någon inre punkt i segmentet
(Existens av makt , exponentiell , logaritmisk och alla trigonometriska funktioner över hela den "naturliga" definitionsdomänen). Till exempel är det bevisat att för varje heltal finns det , det vill säga en lösning på ekvationen . Detta låter dig bestämma värdet på uttrycket för alla rationella : $a>0$ $n\geqslant 1$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $x^{n}=a,x>0$ $a^{x}$ $x$

$a^{{m/n}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}$

Slutligen, igen, på grund av kontinuiteten i tallinjen, är det möjligt att bestämma värdet på uttrycket redan för en godtycklig . På samma sätt, med hjälp av kontinuitetsegenskapen, bevisar vi att det finns ett nummer för alla .

a^{x}

x\in \mathbb{R}

\log _{{a}}{b}

a,b>0,a\neq 1

Under en lång historisk tidsperiod bevisade matematiker satser från analys, på "tunna ställen" med hänvisning till den geometriska motiveringen, och oftare hoppade över dem helt, eftersom det var uppenbart. Det väsentliga begreppet kontinuitet användes utan någon tydlig definition. Först under den sista tredjedelen av 1800-talet producerade den tyske matematikern Karl Weierstrass analysens aritmetisering och konstruerade den första rigorösa teorin om reella tal som oändliga decimalbråk. Han föreslog en klassisk definition av gränsen i språket , bevisade ett antal påståenden som ansågs "uppenbara" före honom, och fullbordade därmed grunden för matematisk analys. $\varepsilon-\delta$

Senare föreslogs andra tillvägagångssätt för definitionen av ett reellt tal. I det axiomatiska tillvägagångssättet pekas kontinuiteten av reella tal uttryckligen ut som ett separat axiom. I konstruktiva tillvägagångssätt till reell talteori, som när man konstruerar reella tal med hjälp av Dedekind-sektioner , bevisas kontinuitetsegenskapen (i en eller annan formulering) som ett teorem.

Andra formuleringar av kontinuitetsegenskapen och motsvarande meningar

Det finns flera olika påståenden som uttrycker kontinuitetsegenskapen hos reella tal. Var och en av dessa principer kan användas som grund för att konstruera teorin om ett reellt tal som ett axiom för kontinuitet, och alla andra kan härledas från den [4] [5] . Denna fråga diskuteras mer i detalj i nästa avsnitt.

Dedekind kontinuitet

Frågan om reella tals kontinuitet anser Dedekind i sitt arbete "Kontinuitet och irrationella tal " [6] . I den jämför han de rationella talen med punkterna på en rät linje . Som du vet, mellan rationella tal och punkter på en rät linje, kan du upprätta en överensstämmelse när startpunkten och måttenheten för segmenten väljs på den räta linjen. Med hjälp av det senare är det möjligt att konstruera motsvarande segment för varje rationellt tal , och lägga det åt sidan till höger eller till vänster, beroende på om det finns ett positivt eller negativt tal, få en punkt som motsvarar talet . Således motsvarar varje rationellt tal en och endast en punkt på linjen. $a$ $a$ $sid$ $a$ $a$ $sid$

Det visar sig att det finns oändligt många punkter på linjen som inte motsvarar något rationellt tal. Till exempel en punkt som erhålls genom att plotta längden på diagonalen för en kvadrat byggd på ett enhetssegment. Således har sfären av rationella tal inte den fullständighet eller kontinuitet som är inneboende i en rak linje.

Den tidigare jämförelsen av regionen av rationella tal med den räta linjen ledde till upptäckten i den första av brister (Lückenhaftigkeit), ofullständighet eller diskontinuitet, medan vi till den räta linjen tillskriver fullständighet, frånvaro av luckor, kontinuitet.R. Dedekind, "Kontinuitet och irrationella tal"

För att ta reda på vad denna kontinuitet består av gör Dedekind följande anmärkning. Om det finns en viss punkt på linjen, faller alla punkter på linjen i två klasser : punkter som ligger till vänster och punkter som ligger till höger . Själva poängen kan godtyckligt tilldelas antingen till den lägre eller till överklassen. Dedekind ser essensen av kontinuitet i den omvända principen: $sid$ $sid$ $sid$ $sid$

Om punkterna på en linje är uppdelade i två klasser så att varje punkt i den första klassen ligger till vänster om varje punkt i den andra klassen, så finns det en och bara en punkt som producerar denna uppdelning av linjen i två klasser, detta är dissektion av linjen i två delar.R. Dedekind, "Kontinuitet och irrationella tal"

Geometriskt verkar denna princip självklar, men vi är inte i stånd att bevisa den. Dedekind betonar att denna princip i huvudsak är ett postulat , som uttrycker essensen av den egenskap som tillskrivs den direkta linjen, som vi kallar kontinuitet.

Godkännandet av denna egenskap hos en rät linje är inget annat än ett axiom, med hjälp av vilket vi ensamma erkänner dess kontinuitet som en rät linje, och mentalt investerar kontinuitet i en rät linje.R. Dedekind, "Kontinuitet och irrationella tal"

För att bättre förstå essensen av kontinuiteten i tallinjen i betydelsen Dedekind, överväg en godtycklig del av uppsättningen av reella tal, det vill säga uppdelningen av alla reella tal i två icke-tomma klasser, så att alla tal av en klass ligger på tallinjen till vänster om alla nummer i den andra. Dessa klasser kallas lägre respektive övre sektionsklasser. Teoretiskt finns det fyra möjligheter:

Den lägsta klassen har ett maximalt element , toppklassen har inget minimum
Den nedersta klassen har inget maxelement, medan toppklassen har ett minimum
Den nedersta klassen har ett maximalt element och den översta klassen har ett minimum.
Den nedersta klassen har inget maximum och den översta klassen har inget minimum.

I det första och andra fallet producerar det maximala elementet av det nedre respektive minimumelementet av det övre detta avsnitt. I det tredje fallet har vi ett hopp och i det fjärde ett gap . Tallinjens kontinuitet innebär alltså att det inte finns några hopp eller luckor i uppsättningen av reella tal, det vill säga bildligt talat finns det inga tomrum.

Om vi introducerar begreppet en sektion av uppsättningen av reella tal, så kan Dedekinds kontinuitetsprincip formuleras enligt följande.

Dedekinds kontinuitetsprincip (fullständighet). För varje sektion av uppsättningen av reella tal finns det ett tal som producerar denna sektion.

Kommentar. Formuleringen av kontinuitetens axiom om existensen av en punkt som skiljer två uppsättningar påminner mycket om formuleringen av Dedekinds kontinuitetsprincip. Faktum är att dessa uttalanden är likvärdiga, och är i huvudsak olika formuleringar av samma sak. Därför kallas båda dessa påståenden Dedekinds princip om kontinuitet för reella tal .

Lemma om kapslade segment (Cauchy-Cantor-principen)

Lemma på kapslade segment ( Cauchy - Kantor ). Alla system av kapslade segment

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

har en icke-tom skärningspunkt, det vill säga det finns minst ett nummer som tillhör alla segment i det givna systemet.

Om dessutom längden på segmenten i det givna systemet tenderar mot noll, dvs.

\forall \varepsilon >0\;\exists n_{{\varepsilon }}\;\forall n{\bigl (}n>n_({\varepsilon }}\Rightarrow b_{n}-a_{n}<\varepsilon {\bigr )}

då består skärningspunkten mellan segmenten i detta system av en punkt.

Denna egenskap kallas kontinuiteten i mängden reella tal i betydelsen Cantor . Det kommer att visas nedan att för de arkimediska ordnade fälten är kontinuiteten enligt Cantor likvärdig med kontinuiteten enligt Dedekind.

Den högsta principen

Överhöghetsprincipen. Varje icke-tomuppsättning reella tal avgränsade från ovan har ett supremum .

I kalkylkurser är denna proposition vanligtvis ett teorem , och dess bevis gör betydande användning av kontinuiteten i uppsättningen av reella tal i en eller annan form. Samtidigt är det tvärtom möjligt att postulera existensen av ett supremum för vilken icke-tom uppsättning som helst avgränsad från ovan, och förlita sig på detta för att bevisa till exempel Dedekinds kontinuitetsprincip. Sålunda är den högsta satsen en av de ekvivalenta formuleringarna av kontinuitetsegenskapen för reella tal.

Kommentar. Istället för supremum kan man använda det dubbla konceptet infimum.

Infimum-principen. Varje icke-tomuppsättning reella tal som avgränsas nedan har ett infimum .

Denna proposition är också likvärdig med Dedekinds kontinuitetsprincip. Dessutom kan det visas att uttalandet av infimumsatsen direkt följer av hävdandet av supremumsatsen och vice versa (se nedan).

Finita omslagslemma (Heine-Borel-principen)

Finita Cover Lemma ( Heine - Borel ). I alla system av intervall som täcker ett segment, finns det ett ändligt delsystem som täcker detta segment.

Gränspunktslemma (Bolzano-Weierstrass-principen)

Gränspunktslemma ( Bolzano - Weierstrass ). Varje oändligt begränsad nummeruppsättning har minst en gränspunkt.

Ekvivalens av meningar som uttrycker kontinuiteten i uppsättningen av reella tal

Låt oss göra några preliminära kommentarer. Enligt den axiomatiska definitionen av ett reellt tal uppfyller samlingen av reella tal tre grupper av axiom. Den första gruppen är fältaxiomen . Den andra gruppen uttrycker det faktum att mängden reella tal är en linjärt ordnad mängd , och ordningsrelationen överensstämmer med fältets grundläggande operationer. Således betyder den första och andra gruppen av axiom att uppsättningen av reella tal är ett ordnat fält . Den tredje gruppen av axiom består av ett axiom - axiomet för kontinuitet (eller fullständighet).

För att visa ekvivalensen av olika formuleringar av kontinuiteten för de reella talen måste det bevisas att om en av dessa satser gäller för ett ordnat fält, så är alla de andra sanna.

Sats. Låt vara en godtycklig linjärt ordnad uppsättning . Följande påståenden är likvärdiga: ${\mathsf {R}}$

Oavsett vilka icke-tomma uppsättningar och är sådana att det för två element och , det finns ett element så att för alla och , gäller relationen $A\subset {\mathsf {R}}$ $B\subset {\mathsf {R}}$ $a\i A$ $b\i B$ $a\leqslant b$ $\xi \in {\mathsf {R}}$ $a\i A$ $b\i B$ $a\leqslant \xi \leqslant b$
För varje avsnitt i det finns ett element som producerar detta avsnitt ${\mathsf {R}}$
Varje icke-tom uppsättning avgränsad ovan har ett supremum $A\subset {\mathsf {R}}$
Varje icke-tom set avgränsad nedan har ett infimum $A\subset {\mathsf {R}}$

Som framgår av denna sats använder dessa fyra satser bara vad den linjära ordningsrelationen har infört och använder inte fältstrukturen. Således uttrycker var och en av dem en egenskap som en linjärt ordnad mängd. Denna egenskap (av en godtyckligt linjärt ordnad mängd, inte nödvändigtvis en uppsättning reella tal) kallas kontinuitet eller fullständighet, enligt Dedekind . ${\mathsf {R}}$ ${\mathsf {R}}$

Att bevisa likvärdigheten av andra meningar kräver redan en fältstruktur.

Sats. Låt vara ett godtyckligt ordnat fält. Följande meningar är likvärdiga: ${\mathsf {R}}$

${\mathsf {R}}$ (som en linjärt ordnad uppsättning) är Dedekind komplett
För Archimedes - ${\mathsf {R}}$ principen och principen om kapslade segment är uppfyllda
För Heine-Borel-principen är uppfylld ${\mathsf {R}}$
För Bolzano-Weierstrass-principen är uppfylld ${\mathsf {R}}$

Kommentar. Som framgår av satsen är principen om kapslade segment i sig inte likvärdig med Dedekinds kontinuitetsprincip. Dedekinds princip om kontinuitet innebär principen om kapslade segment, men det omvända kräver dessutom att det ordnade fältet uppfyller Arkimedes axiom . ${\mathsf {R}}$

Beviset för ovanstående satser kan hittas i böckerna från bibliografin nedan.

Anteckningar

↑ Zorich, V. A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:a, korrigerad .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 43.
↑ Till exempel, i den axiomatiska definitionen av ett reellt tal ingår Dedekinds kontinuitetsprincip i antalet axiom, och i den konstruktiva definitionen av ett reellt tal med hjälp av Dedekind-sektioner är samma påstående redan ett sats - se t.ex. , Fikhtengolts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7:e uppl. - M . : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 sid. — ISBN 5-9221-0196-X .
↑ Kudryavtsev, L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
↑ Kudryavtsev, L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
↑ Zorich, V. A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:a, korrigerad .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ Dedekind, R. Kontinuitet och irrationella tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid.

Litteratur

Kudryavtsev, L. D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Fikhtengol'ts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7:e uppl. - M . : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 sid. — ISBN 5-9221-0196-X .
Dedekind, R. Kontinuitet och irrationella tal = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid.
Zorich, V. A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:e, korrigerad .. - M . : "MTsNMO", 2002. - 657 sid. — ISBN 5-94057-056-9 .
Kontinuitet av funktioner och numeriska domäner: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3:e uppl. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 sid.