Felaktig integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 augusti 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

En bestämd integral kallas oegentlig om minst ett av följande villkor är uppfyllt.

Området för integration är oändligt. Till exempel är ett oändligt spann . $[a,+\infty)$
Funktionen är obegränsad i närheten av vissa punkter i integrationsdomänen. $f(x)$

Om intervallet är ändligt och funktionen är Riemann-integrerbar , så sammanfaller värdet av den oegentliga integralen med värdet på den bestämda integralen . $[a,b]$

Felaktiga integraler av det första slaget

Låt vara definierad och kontinuerlig på intervallet och . Sedan: $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Om , då används notationen och integralen kallas en felaktig Riemann-integral av det första slaget . I detta fall kallas konvergent. $\exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$
Om det inte finns någon finit ( eller ), kallas integralen divergent till " ", " ", eller helt enkelt divergent. $\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\nfinns$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Låt vara definierad och kontinuerlig på uppsättningen från och . Sedan: $f(x)$ $(-\infty,b]$ $\forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx$

Om , då används notationen och integralen kallas en felaktig Riemann-integral av det första slaget . I detta fall kallas konvergent. $\exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$
Om det inte finns någon finit ( eller ), kallas integralen divergent till " ", " ", eller helt enkelt divergent. $\lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\nfinns$ $\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Om funktionen är definierad och kontinuerlig på hela den reella linjen, kan det finnas en felaktig integral av denna funktion med två oändliga gränser för integration, som bestäms av formeln: $f(x)$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+ \infty} f(x)dx$ , där c är ett godtyckligt tal.

Den geometriska betydelsen av en felaktig integral av det första slaget

Den felaktiga integralen av det första slaget uttrycker området för en oändligt lång kurvlinjär trapets.

Exempel

$\int \limits _{-\infty }^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^ {-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{ a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1$

Felaktiga integraler av det andra slaget

Låt definieras på , lider av en oändlig diskontinuitet vid punkten x = a och . Sedan: $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Om , då används notationen och integralen kallas en oegentlig Riemann-integral av det andra slaget . I detta fall kallas integralen konvergent. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Om eller , så är beteckningen bevarad, men kallas divergent till " ", " ", eller helt enkelt divergent. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\nexisterar)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Låt definieras på , lider av en oändlig diskontinuitet för x = b och . Sedan: $f(x)$ $[a, b)$ $\forall \delta > 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Om , då används notationen och integralen kallas en oegentlig Riemann-integral av det andra slaget . I detta fall kallas integralen konvergent. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Om eller , så är beteckningen bevarad, men kallas divergent till " ", " ", eller helt enkelt divergent. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\nexisterar)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Om funktionen lider av en diskontinuitet vid en inre punkt i segmentet bestäms den felaktiga integralen av det andra slaget av formeln: $f(x)$ $c$ $[a;b]$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b} f(x)dx.$

Den geometriska betydelsen av oegentliga integraler av det andra slaget

En felaktig integral av det andra slaget uttrycker området för en oändligt hög kurvlinjär trapets.

Exempel

$\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln|x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty$

Enstaka fall

Låt funktionen definieras på hela den reella axeln och ha en diskontinuitet i punkter . $f(x)$ $x_1,x_2,\prickar,x_k$

Då kan vi hitta den felaktiga integralen $\int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k -1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx$

Cauchy kriterium

1. Låt definieras på uppsättningen från och . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Konvergerar sedan

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits _{ A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

2. Låt definieras på och . $f(x)$ $(a,b]$ $\forall \delta >0\ \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx$

Konvergerar sedan

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left |\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

Absolut konvergens

En integral kallas absolut konvergent om den konvergerar. Om en integral konvergerar absolut, då konvergerar den. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right)$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)$

Villkorlig konvergens

En integral kallas villkorligt konvergent om den konvergerar men divergerar. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \$

Se även

Riemann integral
Lebesgue integral
Den samokiska metoden är en numerisk metod för att beräkna integraler med singulariteter.

Litteratur

Dmitry Skriven. Föreläsningsanteckningar om högre matematik, del 1. - Iris Press, 2007. - S. 233-237.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss