Mekanisk stress

Mekanisk stress
$Q={\frac FS}$
Dimensionera	L −1 MT− 2
Enheter
SI	Pa
GHS	g cm −1 s −2

Inom kontinuummekanik är mekanisk spänning en fysisk storhet som uttrycker de inre krafter som närliggande partiklar i ett kontinuerligt medium utövar på varandra, och töjning är ett mått på förändringen i mediets geometriska dimensioner. Till exempel, när en solid vertikal stång stödjer en last , trycker varje partikel i stången mot partiklarna direkt under den. När en vätska är i en sluten tryckbehållare kolliderar varje partikel med alla omgivande partiklar. Behållarens väggar och ytan som skapar tryck (till exempel en kolv) pressas in mot dem (enligt Newtons tredje lag) i enlighet med reaktionskraften. Dessa makroskopiska krafter är faktiskt nettoresultatet av ett mycket stort antal intermolekylära krafter och kollisioner mellan partiklar i dessa miljöer. Mekanisk spänning, eller spänning härefter, betecknas ofta med den grekiska gemena bokstaven sigma σ .

Deformation, dvs ömsesidig förskjutning av de inre delarna av ett material, kan uppstå på grund av olika mekanismer, såsom stress, när yttre krafter appliceras på ett bulkmaterial (såsom gravitation ) eller på dess yta (såsom kontaktkrafter, yttre tryck eller friktion ). Varje deformation av ett fast material skapar en inre elastisk spänning , liknande reaktionskraften hos en fjäder , som tenderar att återföra materialet till dess ursprungliga odeformerade tillstånd, observerad före appliceringen av yttre krafter. I vätskor och gaser skapar endast deformationer som ändrar volym en konstant elastisk spänning. Men om belastningen gradvis förändras över tiden, även i vätskor finns det vanligtvis viss viskös stress som förhindrar denna förändring. Elastiska och viskösa spänningar kombineras vanligtvis under namnet mekanisk spänning .

Betydande spänningar kan förekomma även om det finns liten eller ingen deformation (ett vanligt antagande i vattenflödessimuleringar). Spänningar kan existera i frånvaro av yttre krafter; sådan inbyggd spänning uppstår till exempel i förspänd betong och härdat glas . Stress kan observeras i ett material utan tillämpning av allmänna krafter , till exempel på grund av förändringar i temperatur eller kemisk sammansättning, eller externa elektromagnetiska fält (som i piezoelektriska och magnetostriktiva material).

Förhållandet mellan mekanisk spänning, töjning och töjningsförändringshastighet kan vara ganska komplext, även om en linjär approximation ofta är tillräcklig i praktiken om deras storlek är tillräckligt liten. Påfrestningar som överskrider vissa materialhållfasthetsgränser kommer att leda till irreversibel deformation (till exempel plastflöde , förstörelse, kavitation ) eller till och med till en förändring i dess kristallstruktur och kemiska sammansättning .

I vissa grenar av ingenjörskonst används termen stress ibland mer brett som en synonym för "inre kraft". Till exempel, när man analyserar takstolar , kan detta hänvisa till den totala spänningen eller kompressionskraften som verkar på en balk, snarare än kraften dividerad med dess tvärsnittsarea .

Historik

Sedan urminnes tider har människor varit medvetna om förekomsten av spänningar inuti material. Fram till 1600-talet var förståelsen av spänningar mestadels intuitiv eller empirisk; och ändå gav det upphov till komplexa teknologier som kompositbågen och glasblåsningstekniken. [ett]

Under loppet av flera årtusenden har i synnerhet arkitekter och byggare lärt sig att kombinera noggrant formade träbjälkar och stenblock för att stödja, överföra och fördela last på det mest effektiva sättet, med hjälp av geniala anordningar som kapitäler , bågar , kupoler , takstolar och flygande strävpelare av de gotiska katedraler .

Forntida och medeltida arkitekter utvecklade några geometriska metoder och enkla formler för att beräkna de erforderliga dimensionerna av pelare och balkar, men en vetenskaplig förståelse av stresstillståndet hos enkla kroppar blev möjlig först efter att de nödvändiga vetenskapliga principerna uppfanns på 1600- och 1700-talen: Galileo Galileis koncept av en rigorös experimentell metod , koordinater och analytisk geometri av René Descartes , samt Newtons lagar för rörelse och jämvikt och grunden för infinitesimal kalkyl . Med dessa verktyg kunde Augustin Louis Cauchy skapa den första rigorösa och generella matematiska modellen av elastisk spänning i ett homogent medium. Cauchy märkte att kraften som verkar på en imaginär yta var en linjär funktion av dess normalvektor.

Förståelsen av stress i vätskor började med Newton, som härledde en differentialformel för friktionskrafter (skjuvspänning) i parallellt laminärt flöde .

Översikt

Definition

Stress definieras som kraften som verkar genom en "liten" gräns på området för den gränsen för alla orienteringar av gränsen. Som en derivata av en fundamental fysikalisk storhet (kraft) och en rent geometrisk storhet (area) är spänning också en fundamental storhet såsom hastighet, vridmoment eller energi som kan kvantifieras och analyseras utan explicit hänsyn till antingen materialets natur eller dess fysiska orsaker..

Enligt de grundläggande principerna för kontinuummekanik är stress ett makroskopiskt begrepp. Nämligen måste partiklarna som utgör kroppen, betraktade i dess definition och analys, vara tillräckligt små så att de kan betraktas som homogena i sammansättning och tillstånd, men fortfarande tillräckligt stora för att ignorera kvanteffekter och den detaljerade rörelsen av mediets molekyler . Sålunda är kraften mellan två partiklar egentligen medelvärdet av ett mycket stort antal atomkrafter mellan deras molekyler; och det antas att fysiska storheter som massa, hastighet och krafter som verkar genom volymen av tredimensionella kroppar, som gravitation, är jämnt fördelade över dem. :s.90–106 Beroende på sammanhanget kan man också anta att partiklarna är tillräckligt stora för att möjliggöra medelvärdesbildning av andra mikroskopiska strukturella egenskaper, såsom kornen i en metallstav eller fibrerna i en träbit .

Kvantitativt uttrycks spänningen av Cauchy-spänningsvektorn T , definierad som kraften F mellan intilliggande delar av materialet genom en imaginär separeringsyta S , dividerat med arean S eftersom denna yta tenderar mot noll representerar det välkända trycket . I ett fast eller i ett viskös vätskeflöde kan kraften F inte vara vinkelrät mot ytan S ; därför bör ytspänningen betraktas som en vektorkvantitet och inte som en skalär. Dessutom beror riktningen och storleken vanligtvis på orienteringen av ytan S. Sålunda måste spänningstillståndet för materialet beskrivas av en tensor (av andra rangen) som kallas (Cauchy) spänningstensor ; som är en linjär funktion som relaterar normalvektorn n till ytan S till spänningen T. Med avseende på valfritt koordinatsystem kan Cauchy-spänningstensorn representeras som en 3 × 3 symmetrisk matris av reella tal. Även inuti en homogen kropp , kan spänningstensorn ändras beroende på koordinater och tid; därför är spänning i ett material typiskt ett tidsvarierande tensorfält .

Normal spänning och skjuvspänning

I allmänhet kan spänningen T som en partikel P applicerar på en annan partikel Q längs en sammanhängande yta S vara i vilken riktning som helst med avseende på S. Vektorn T kan ses som summan av två komponenter: den normala spänningen (kompressiv resp. drag) vinkelrätt mot ytan och skjuvspänningen parallellt med ytan.

Om enhetens normalvektor n för ytan (riktad från Q till P ) antas vara fixerad, så kan normalkomponenten uttryckas med ett enda tal, punktprodukten T · n . Detta nummer kommer att vara positivt om P är "töjande" Q (dragspänning), och negativt om P "skjuter" Q (tryckspänning). Skiftkomponenten är då en vektor T − ( T · n ) n .

Måttenheter

Spänningens dimension är tryck , och därför mäts dess storlek vanligtvis i samma enheter som tryck: nämligen pascal (Pa, det vill säga newton per kvadratmeter ) i det internationella systemet , eller pund per kvadrattum (psi) i kejserliga systemet. Eftersom mekaniska spänningar i fasta ämnen lätt överstiger en miljon pascal, är MPa (megapascal) den vanliga enheten för spänning.

Orsaker och konsekvenser

Stress i en elastisk kropp kan orsakas av en mängd olika fysiska orsaker, inklusive yttre påverkan och inre fysiska processer. Vissa av dessa medel (såsom gravitation, förändringar i temperatur och termodynamisk fas och elektromagnetiska fält) verkar på huvuddelen av materialet och förändras kontinuerligt med koordinater och tid. Andra medel (till exempel yttre belastningar och friktion, miljötryck och kontaktkrafter) kan skapa spänningar och krafter som är koncentrerade på vissa ytor, linjer eller punkter; och möjligen även med mycket korta tidsintervall (t.ex. i pulser på grund av kollisioner och stötar). I den aktiva substansen genererar självgående mikroskopiska partiklar makroskopiska stressprofiler [2] . I det allmänna fallet uttrycks fördelningen av spänningar i kroppen som en styckvis kontinuerlig funktion av koordinater och tid.

Däremot korrelerar stress generellt med olika effekter på materialet, eventuellt inklusive förändringar i fysikaliska egenskaper som dubbelbrytning , polarisering och permeabilitet . Appliceringen av spänning på grund av en yttre faktor skapar vanligtvis en viss spänning (töjning) i materialet, även om det är för litet för att upptäckas. I ett fast material kommer sådan deformation i sin tur att orsaka en inre elastisk spänning, liknande reaktionskraften hos en sträckt fjäder , som tenderar att återställa materialets ursprungliga odeformerade tillstånd. Flytande material (vätskor, gaser och plasma ) kan per definition endast motstå deformationer som kan ändra deras volym. Men om belastningen förändras över tiden, även i vätskor, finns det vanligtvis viss viskös spänning som förhindrar denna förändring. Sådana spänningar kan vara både skjuvkrafter och normala. Den molekylära naturen hos skjuvspänningar i vätskor beskrivs i artikeln om viskositet . Samma sak för normala viskösa spänningar finns i Sharma (2019). [3]

Sambandet mellan stress och dess effekter och orsaker, inklusive töjning och spänningsförändringshastigheten, kan vara ganska komplext (även om i praktiken en linjär approximation används om kvantiteterna är tillräckligt små). Påfrestningar som överskrider vissa materialhållfasthetsgränser kommer att leda till irreversibel deformation (till exempel plastflöde , förstörelse, kavitation ) eller till och med till en förändring i dess kristallstruktur och kemiska sammansättning .

Enkel stress

I vissa situationer kan stressen inuti kroppen beskrivas adekvat av en enda vektor. Tre sådana enkla spänningssituationer som ofta förekommer inom konstruktionsteknik är uniaxial normalspänning , enkel skjuvspänning och isotrop normal spänning .

Enaxlig normalspänning

Den vanliga situationen med en enkel spänningsstruktur observeras i en rak stång med ett homogent material och tvärsnitt, som utsätts för spänning under verkan av motsatt riktade krafter längs sin axel. Om systemet är i jämvikt och inte förändras med tiden, och stavens vikt kan försummas, måste den övre delen genom varje tvärsnitt av staven dra den nedre delen med samma kraft, F , med kontinuerlig verkan över hela tvärsnittsarean A. Därför kan spänningen σ i hela stången på vilken horisontell yta som helst enkelt uttryckas med ett enda tal σ beräknat från storleken på dessa krafter, F , och tvärsnittsarean, A. $F$

σ = F A {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}

\sigma ={\frac {F}{A}}

Å andra sidan, om du föreställer dig att stången skärs längs längden, parallellt med axeln, så blir det ingen kraft (och därmed ingen spänning) mellan de två halvorna.

Denna typ av spänning kan kallas (enkel) normal spänning eller enaxlig spänning; i synnerhet (enaxlig, enkel) dragspänning. Om belastningen på stången är i kompression snarare än i spänning, är analysen densamma, förutom att kraften F och spänningen kommer att ändra tecken, och spänningen kallas tryckspänningen. $\sigma$

Denna analys antar att spänningen är jämnt fördelad över hela tvärsnittet. I praktiken kanske detta antagande inte är sant, beroende på hur stången är fäst i ändarna och hur den gjordes. I det här fallet kommer värdet = F / A endast att representera medelspänningen, kallad teknisk spänning eller märkspänning . Men om längden på stången L är många gånger dess diameter D och den inte har några grova defekter eller inbyggda spänningar, kan det antas att spänningen är jämnt fördelad över vilket tvärsnitt som helst, vars avstånd är mer än flera D gånger större än avståndet från båda ändarna. (Denna observation är känd som Saint-Venants princip ). $\sigma$

Förutom axiell spänning och kompression förekommer normal stress i många andra situationer. Om en elastisk stång med ett likformigt och symmetriskt tvärsnitt böjs i ett av symmetriplanen, kommer den resulterande böjspänningen fortfarande att vara normal (vinkelrätt mot tvärsnittet), men kommer att variera över tvärsnittet: den yttre delen blir under dragspänning, medan den inre delen kommer att vara i kompression. En annan variant av normal spänning är ringspänningen , som uppstår på väggarna i ett cylindriskt rör eller kärl fyllt med vätska under tryck.

Enkel skjuvspänning

En annan enkel typ av påkänning uppstår när ett lager av elastiskt material med jämn tjocklek, såsom lim eller gummi, är stadigt fäst vid två styva kroppar som dras i motsatta riktningar av krafter parallella med det lagret; eller en bit av mjuk metallstav som skärs av saxblad. Låt F vara storleken på dessa krafter och M medelplanet för detta lager. Liksom vid normal spänning måste en del av skiktet på ena sidan av M dra den andra delen med samma kraft F. Om man antar att krafternas riktning är känd kan spänningen på M uttryckas som ett enda tal , som beräknas från storleken av dessa krafter F och tvärsnittsarean A . $\tau$

τ = F A {\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}

\tau ={\frac {F}{A}}

Men till skillnad från den normala spänningen är denna enkla skjuvspänning riktad parallellt med tvärsnittet i fråga, inte vinkelrätt mot det. För alla plan S som är vinkelrät mot skiktet blir den totala inre kraften i S -planet och därmed spänningen noll.

Liksom i fallet med en axiellt belastad stång kan i praktiken inte skjuvspänningen fördelas jämnt över skiktet; så, som tidigare, kommer F / A -förhållandet att ha betydelsen av den genomsnittliga ("nominella", "tekniska") spänningen. Men för praktiska ändamål är detta genomsnitt ofta tillräckligt :s.292 . Skjuvspänning observeras också när en cylindrisk stång, såsom en axel , utsätts för motsatta moment vid sina ändar. I detta fall är skjuvspänningen i varje tvärsnitt parallell med tvärsnittet, men orienterad tangentiellt med avseende på axeln, och ökar med ökande avstånd från axeln. Under verkan av böjningsbelastningar i mittplanet ("vägg") av I-balkar uppstår en betydande skjuvspänning på grund av det faktum att väggen begränsar ändplattorna ("hyllor").

Isotropisk stress

En annan enkel typ av stress uppstår när en materialkropp upplever samma kompression eller spänning i alla riktningar. Detta inträffar till exempel i en del av en vätska eller gas i vila, innesluten i någon behållare, eller som en del av en större vätskemassa; eller inuti en kub av elastiskt material som är under likformigt tryck eller sträckt på alla sex ytorna med lika krafter vinkelrätt mot ytorna - förutsatt att materialet i båda fallen är homogent, utan inbyggda spänningar, och att tyngdkraftens inverkan och andra yttre krafter kan försummas.

I dessa situationer är spänningen på vilken imaginär inre yta som helst lika stor och alltid riktad vinkelrätt mot ytan, oavsett dess orientering. Denna typ av stress kan kallas isotropisk normal , eller helt enkelt isotropisk ; om tryckspänning observeras kallas det hydrostatiskt tryck eller helt enkelt tryck . Gaser kan per definition inte motstå dragspänningar, men vissa vätskor tål förvånansvärt stora värden av isotrop dragspänning under vissa omständigheter (se Z-rör).

Cylinderspänningar

Axialsymmetriska delar som hjul, axlar, rör, skivor och fjäderben är mycket vanliga inom teknik. Ofta har spänningsmönstren som uppstår i sådana delar rotations- (axiell) eller till och med cylindrisk symmetri. Vid analys av sådana cylindriska spänningar används symmetri för att reducera dimensionen av domänen och/eller spänningstensorn.

Allmän bild av stresstensorn

Ofta upplever mekaniska kroppar mer än en typ av belastning samtidigt; detta kallas kombinerad spänning . Under normal spänning och skjuvspänning är spänningsstorleken maximal för ytor som är vinkelräta mot en viss riktning och är noll på alla parallella ytor När skjuvspänningen är noll endast på ytor som är vinkelräta mot en viss riktning kallas spänningen biaxiell och kan betraktas som som summan av två normala spänningar eller skjuvspänningar. I det mest allmänna fallet, kallat triaxiell spänning , är spänningen icke-noll på varje ytelement. $d,$ $d.$

Cauchy stress tensor

Kombinerade spänningar kan inte beskrivas av en enda vektor. Därför, även om materialet utsätts för samma belastning genom hela kroppens volym, kommer spänningen på vilken imaginär yta som helst att bero på orienteringen av denna yta på ett icke-trivialt sätt.

Cauchy märkte dock att spänningsvektorn som ges på ytan alltid kommer att vara en linjär funktion av normalvektorn till ytan - en vektor med längdenhet vinkelrät mot den. Det vill säga där funktionen uppfyller relationen $T$ $n,$ $T={\boldsymbol {\sigma }}(n),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)

för alla vektorer och alla reella tal Funktionen som nu kallas spänningstensor (Cauchy) beskriver fullständigt spänningstillståndet för en likformigt belastad kropp. (I allmänhet kallas alla linjära samband mellan två fysiska vektorkvantiteter en tensor , vilket motsvarar Cauchys ursprungliga betydelse av att beskriva "spänningar" i ett material.) Klassificerad i tensorkalkyl som en andrarangstensor av typen (0,2) . $u,\v$ $\alpha ,\ \beta .$ ${\boldsymbol {\sigma )),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

Liksom all linjär mappning mellan vektorer kan spänningstensorn representeras i vilket som helst valt kartesiskt koordinatsystem av en 3 × 3 matris av reella tal. Beroende på om koordinaterna är numrerade eller om matrisen används, kan den skrivas som: ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3))$ $x,\y,\z$

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23 }\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad

eller

\quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy} &\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}

Spänningsvektorn som ges på ytan med normalvektorn med koordinater representeras då som en matrisprodukt . Som ett resultat får vi en kovariant (radvektor) vektor (jämför med Cauchy-spänningstensorn ), d.v.s. $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ $n$ $n_1,\ n_2,\ n_3$ $T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

{\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{ 32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}

Det linjära förhållandet mellan och följer också av de grundläggande lagarna för bevarande av momentum och den statiska kraftbalansen , och är därför matematiskt exakt för alla material och alla spänningssituationer. Komponenterna i Cauchy-spänningstensorn vid varje punkt i kroppen uppfyller jämviktsekvationerna ( Cauchy-ekvationerna för rörelse vid nollacceleration). Av principen om bevarande av rörelsemängd följer dessutom att spänningstensorn är symmetrisk , det vill säga , Detta återspeglas i inlägget: $T$ $n$ $\sigma _{12}=\sigma _{21},$ $\sigma _{13}=\sigma _{31},$ $\sigma _{23}=\sigma _{32}.$

{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz }\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}

där elementen kallas ortogonala normalspänningar (med hänsyn till det valda koordinatsystemet), och ortogonala skjuvspänningar . ${\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z))$ ${\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz))$

Koordinattransformation

Cauchy-spänningstensorn lyder tensortransformationslagen när koordinatsystemet ändras. För en grafisk framställning av denna transformationslag används Mohrs cirkel av spänningar .

För en 3×3 symmetrisk reell matris har spänningstensorn tre ömsesidigt ortogonala egenvektorer av enhetslängd och tre reella egenvärden , så att spänningstensorn i ett koordinatsystem med axlar är en diagonal matris och har endast tre normala komponenter som kallas principal stressar . Om de tre egenvärdena är lika, är spänningen en isotropisk kompression eller spänning, och den är alltid vinkelrät mot vilken yta som helst, och det finns ingen skjuvspänning, och tensorn är en diagonal matris i vilket koordinatsystem som helst. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\displaystyle e_{1},\ e_{2},\ e_{3))$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$ ${\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}.$ $e_{1},\ e_{2},\ e_{3},$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$

Stress som ett tensorfält

Typiskt fördelas stress ojämnt i volymen av en materiell kropp och kan förändras över tiden. Därför måste spänningstensorn bestämmas för varje punkt och varje ögonblick, med hänsyn till en oändligt liten partikel av mediet som omger denna punkt, och ta medelspänningarna i denna partikel som spänningarna vid denna punkt.

Spänning i tunna plattor

Konstgjorda föremål tillverkas ofta av standarddelar gjorda av en mängd olika material genom operationer som inte ändrar deras väsentligen tvådimensionella karaktär, såsom skärning, borrning, slät bockning och kantsvetsning. Beskrivningen av spänningar i sådana kroppar kan förenklas genom att modellera dessa delar som tvådimensionella ytor snarare än som tredimensionella kroppar.

Ur denna synvinkel kan man omdefiniera en "partikel" som en oändlig sektion av plattans yta, så att gränsen mellan intilliggande partiklar blir ett infinitesimalt linjeelement (kontur); båda är implicit förlängda i den tredje dimensionen, vinkelrätt mot plattan. "Stress" omdefinieras sedan som ett mått på de inre krafterna mellan två intilliggande "partiklar", längs deras gemensamma linjeelement, dividerat med längden på det elementet. Vissa komponenter i spänningstensorn kan ignoreras, men eftersom partiklar inte är oändligt små i den tredje dimensionen kan man inte längre bortse från vridmomentet som en partikel applicerar på angränsande partiklar. Detta vridmoment är modellerat som en böjspänning som tenderar att förändra plattans krökning . Dessa förenklingar kanske inte gäller svetsar eller skarpa böjar och veck (där krökningsradien är jämförbar med plåttjockleken).

Spänning i tunna strålar

Spänningsanalys är också avsevärt förenklad för tunna stavar, balkar eller trådar med enhetlig (eller jämnt varierande) sammansättning och tvärsnitt, som utsätts för måttlig böjning och vridning. För dessa kroppar kan man bara betrakta tvärsnitt som är vinkelräta mot stavens axel, och omdefiniera "partikel" som en bit tråd med en oändlig längd mellan två sådana tvärsnitt. Den vanliga spänningen minskar därför till en skalär (sträcka eller komprimera stången), men man måste också ta hänsyn till böjspänningen (som försöker ändra stavens krökning i någon riktning vinkelrätt mot axeln) och vridspänningen (som försöker rotera eller varva ner den runt sin axel).

Andra stressbeskrivningar

Cauchy-spänningstensorn används för att analysera spänningarna hos materialkroppar som upplever små deformationer, där skillnader i spänningsfördelning kan försummas i de flesta fall. För stora töjningar eller ändliga töjningar krävs andra spänningsbeskrivningsmetoder, såsom den första och andra Piola-Kirchhoff spänningstensorn, Biot spänningstensorn och Kirchhoff spänningstensorn.

Fasta ämnen, vätskor och gaser har spänningsfält. Statiska vätskor bibehåller normal spänning men flyter under skjuvpåkänning . Rörliga viskösa vätskor kan motstå skjuvspänning (dynamiskt tryck). Fasta ämnen kan motstå både skjuvkrafter och normala påkänningar, med sega material som sviker under skjuvning och spröda material som sviker under normal belastning. Alla material har temperaturberoende förändringar i spänningsrelaterade egenskaper, medan icke-newtonska material förändras med hastigheten.

Stressanalys

Spänningsanalys är en gren av tillämpad fysik som handlar om att bestämma fördelningen av inre krafter i fasta ämnen. Det är en viktig teknik inom ingenjörskonst för studier och design av strukturer som tunnlar, dammar, mekaniska delar och strukturella ramar under givna eller förväntade belastningar. Stressanalys är också viktigt inom många andra discipliner; till exempel i geologi för att studera fenomen som plattektonik , vulkanism och laviner ; och i biologi, att förstå anatomin hos levande varelser.

Mål och antaganden

Spänningsanalys handlar i allmänhet om objekt och strukturer som kan antas vara i makroskopisk statisk jämvikt . Enligt Newtons rörelselagar måste alla yttre krafter som appliceras på ett sådant system balanseras av interna reaktionskrafter :s.97 som nästan alltid orsakas av ytkontaktkrafter mellan närliggande partiklar, det vill säga spänningar. Eftersom varje partikel måste vara i balans sprider sig denna stress som är förknippad med reaktionskraften vanligtvis från partikel till partikel, vilket skapar en fördelning av stress i hela kroppen.

Ett typiskt problem vid spänningsanalys är att bestämma dessa inre spänningar givet de yttre krafter som verkar på systemet. Det senare kan vara både kroppskrafter (såsom gravitation eller magnetisk interaktion) som verkar genom hela materialets volym ; :s.42–81 eller koncentrerade belastningar (såsom friktion mellan en axel och ett lager , eller trycket från ett tåghjul på en räls) som antas verka i en tvådimensionell domän eller längs en linje eller vid en punkt .

Spänningsanalys tar vanligtvis inte hänsyn till de fysiska orsakerna till krafterna eller materialens exakta natur. Istället antas spänningarna vara relaterade till töjningen (och, i icke-stationära problem, töjningshastigheten) hos materialet genom kända materialförhållanden.

Metoder

Spänningsanalys kan göras experimentellt, genom att applicera belastningar på en faktisk del eller på en skalad modell och mäta de resulterande spänningarna med någon av flera tillgängliga metoder. Detta tillvägagångssätt används ofta för att certifiera och övervaka säkerheten för stora konstruktioner. Men de flesta stressanalyser görs matematiskt, speciellt under design. För spänningsanalysens huvuduppgift bör Eulers rörelseekvationer för fasta kroppar (som är en konsekvens av Newtons lagar för bevarande av rörelsemängd och rörelsemängd ) och Euler-Cauchys spänningsprincip, tillsammans med motsvarande materiella relationer, vara utarbetats. Således erhålls ett system av partiella differentialekvationer , inklusive spänningstensorfältet och töjningstensorfältet som okända funktioner som kan hittas. Yttre kroppskrafter uppträder som en oberoende ("höger sida") term i differentialekvationer, och koncentrerade krafter kommer in i ekvationerna som randvillkor. Sålunda är huvuduppgiften för stressanalys ett gränsvärdesproblem .

Beräkningen av spänningar för elastiska strukturer baseras på teorin om elasticitet och teorin om infinitesimala deformationer. När applicerade belastningar orsakar permanent deformation måste mer komplexa materialförhållanden användas, vilket kan ta hänsyn till viktiga fysiska processer ( plastiskt flöde , brott, fasövergång , etc.).

Emellertid är tekniska strukturer vanligtvis utformade så att de maximala förväntade spänningarna ligger inom intervallet för linjär elasticitet (en generalisering av Hookes lag för kontinuum); det vill säga deformationer orsakade av inre spänningar måste vara linjärt relaterade till dem. I det här fallet är differentialekvationerna som bestämmer spänningstensorn linjära, och problemet är avsevärt förenklat. För det första kommer spänningen vid vilken punkt som helst också att vara en linjär funktion av lasten. Vid tillräckligt låga spänningar kan även olinjära system vanligtvis betraktas som linjära.

Spänningsanalys förenklas när de fysiska dimensionerna och lastfördelningen gör att strukturen kan betraktas som endimensionell eller tvådimensionell. Vid beräkning av fackverk kan det till exempel antas att spänningsfältet är enhetligt och enaxligt för varje element. Därefter reduceras differentialekvationerna till ett ändligt ekvationssystem (vanligtvis linjärt) med ett ändligt antal okända. Andra tillvägagångssätt kan reducera 3D-problemet till ett 2D-problem och/eller ersätta de allmänna spännings- och töjningstensorerna med enklare modeller som använder problemsymmetri såsom enaxlig spänning/kompression, enkel skjuvning, etc.

Men för 2D- eller 3D-fall är det nödvändigt att lösa ett system med partiella differentialekvationer. Analytiska eller slutna lösningar av differentialekvationer kan erhållas när geometrin som definierar sambanden och randvillkoren är tillräckligt enkel. Annars måste man vanligtvis tillgripa numeriska metoder som finita elementmetoden, finita differensmetoden och gränselementmetoden .

Teoretiska grunder

Kontinuummekanik handlar om deformerbara kroppar, inte absolut stela kroppar. Inom kontinuummekaniken tas endast hänsyn till spänningar som uppstår från appliceringen av yttre krafter och efterföljande deformation av kroppen; med andra ord, relativa töjningsförändringar beaktas, inte deras absoluta värden. En kropp sägs vara stressfri om bara krafterna är de interatomära krafter (av jonisk, metallisk eller van der Waals natur) som är nödvändiga för att hålla ihop kroppen och bibehålla dess form i frånvaro av alla yttre påverkan, inklusive gravitationsattraktion [4] [5] . Undantagna är också spänningar som uppstår under tillverkningen av en viss kroppsform under bearbetning.

Efter den klassiska Newtonska och Eulerdynamiken orsakas en materiell kropps rörelse av inverkan av externt applicerade krafter, som antas vara av två typer: ytkrafter och kroppskrafter [6] .

Ytkrafter eller kontaktkrafter kan verka antingen på kroppens begränsningsyta som ett resultat av mekanisk kontakt med andra kroppar, eller på imaginära inre ytor som förbinder delar av kroppen, som ett resultat av mekanisk interaktion mellan dess delar på båda sidor om denna yta (Euler-Cauchy spänningsprincip) . När yttre kontaktkrafter verkar på en kropp, överförs interna kontaktkrafter från punkt till punkt i kroppen för att balansera deras verkan, enligt Newtons andra rörelselag för bevarande av momentum och vinkelmomentum. Dessa lagar kallas Eulers rörelseekvationer för kontinuerliga medier. Inre kontaktkrafter är relaterade till kroppens deformation genom konstitutiva ekvationer. Denna artikel ger en matematisk beskrivning av de inre kontaktkrafterna och deras förhållande till kroppens rörelser, oavsett dess materialsammansättning [7] .

Stress kan betraktas som ett mått på intensiteten av inre kontaktkrafter som verkar mellan kroppspartiklar genom imaginära inre ytor [8] . Med andra ord är stress ett mått på den genomsnittliga kraften som appliceras per ytenhet av ytan som dessa inre krafter verkar på. Intensiteten hos kontaktkrafterna är omvänt proportionell mot kontaktytan. Till exempel, om en kraft som appliceras över en liten yta jämförs med en fördelad belastning av samma resulterande storlek som appliceras över en större yta, visar sig effekterna eller intensiteterna av de två krafterna vara lokalt olika eftersom spänningarna i mediet inte är det samma.

Kroppskrafter uppstår på grund av källor utanför kroppen [9] , som verkar på dess volym (eller massa). Detta innebär att inre krafter manifesteras endast genom kontaktkrafter [10] . Dessa krafter uppstår på grund av närvaron av kroppen i olika kraftfält (till exempel ett gravitationsfält). Eftersom massan av en fast kropp antas vara kontinuerligt fördelad, fördelas även all kraft som kommer från massan kontinuerligt. Det antas alltså att kroppskrafterna är kontinuerliga över kroppens volym [11] .

Tätheten av inre krafter vid varje punkt av den deformerbara kroppen är inte nödvändigtvis enhetlig, det vill säga det finns en fördelning av spänningar. Denna förändring i inre krafter styrs av lagarna för bevarande av linjärt och vinkelmomentum, som vanligtvis appliceras på en massiv partikel, men som i kontinuummekaniken utsträcks till en kropp med en kontinuerligt fördelad massa. Om kroppen representeras som en samling diskreta partiklar, som var och en lyder Newtons rörelselagar, så härleds Eulers ekvationer från Newtons lagar. Emellertid kan Euler-ekvationerna betraktas som axiom som beskriver rörelselagarna för utsträckta kroppar, oavsett strukturen hos någon partikel [12] .

Euler-Cauchys stressprincip

Euler-Cauchy stressprincipen säger att "i varje tvärsnitt som ritas mentalt inuti kroppen, finns det en växelverkan av krafter av samma natur som lasterna fördelade över ytan" [13] , och denna interaktion representeras av ett vektorfält T ( n ) , kallad spänningsvektor definierad på ytan S och kontinuerligt beroende av enhetsvektorn för ytan n [11] [14] .

För att förklara denna princip, betrakta en imaginär yta S som passerar genom en inre punkt av kroppen P och delar den kontinuerliga kroppen i två segment, som visas i fig. 2.1a eller 2.1b (du kan använda antingen ett klippplansdiagram eller ett diagram med en godtycklig volym inuti mediet inneslutet inuti ytan S ). Yttre ytkrafter F och kroppskrafter b verkar på kroppen . Inre kontaktkrafter som överförs från ett segment av kroppen till ett annat genom planet som skiljer dem åt, på grund av påverkan av en del av mediet på den andra, skapar en kraftfördelning på ett litet område Δ S med en normal enhetsvektor n , visas på skärplanet S. Kraftfördelningen är lika med kontaktkraften ΔF och den kopplade spänningen ΔM associerad med den , som visas i figurerna 2.1a och 2.1b. Cauchy-spänningsprincipen säger [4] att när Δ S går till noll, blir förhållandet Δ F /Δ S d F / d S , och momentspänningsvektorn Δ M försvinner. Inom vissa områden av kontinuummekaniken antas det att momentspänningen inte försvinner; de klassiska grenarna av kontinuummekaniken adresserar emellertid icke-polära material som inte tar hänsyn till parspänningar. Den resulterande vektorn dF / d S definieras som spänningsvektorn som ges av T ( n ) = Ti ( n ) ei till punkten P som är associerad med planet med normalvektorn n :

T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i)){\Delta S))={dF_{ i}\över dS}.

Denna ekvation innebär att spänningsvektorn beror på dess position i kroppen och orienteringen av det plan som den verkar på.

Beroende på orienteringen av planet i fråga behöver spänningsvektorn inte vara vinkelrät mot det planet, dvs parallell med n , och kan delas upp i två komponenter (figur 2.1c):

en komponent vinkelrät mot planet, kallad normalspänningen

\mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}} ={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS)),

där d F n är normalkomponenten av kraften d F till differentialplattformen d S

och den andra, parallell med detta plan, kallas skjuvspänningen .

\mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} )){\Delta S))={\frac {dF_{\ mathrm {s} }}{dS}},

där d F s är den tangentiella komponenten av kraften d F till areadifferentialen d S . Skjuvspänningen kan sönderdelas ytterligare i två ömsesidigt vinkelräta vektorer.

Cauchys postulat

Enligt Cauchys postulat förblir spänningsvektorn T ( n ) densamma för alla ytor som passerar genom punkt P och har samma normalvektor n i punkt P [10] [15] , dvs. har en gemensam tangent i punkt P. Detta innebär att spänningsvektorn endast är en funktion av normalvektorn n och inte beror på krökningen av de inre ytorna.

Cauchys huvudlemma

Cauchys postulat antyder det grundläggande Cauchy-lemmat [5] [9] [10] , även känt som Cauchys reciprocitetssats [16] , som säger att spänningsvektorer som verkar på motsatta sidor av samma yta är lika stora och motsatta i riktning. Cauchys grundläggande lemma motsvarar Newtons tredje lag om handling och reaktion och uttrycks som

-\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.\,\!

Cauchys spänningsteorem - spänningstensor

Stresstillståndet vid en punkt i kroppen bestäms av alla spänningsvektorer T ( n ) associerade med alla plan (ett oändligt antal) som passerar genom denna punkt [8] . Men enligt Cauchys huvudsats [5] , även känd som Cauchys spänningssats [9] , från kända spänningsvektorer på tre inbördes vinkelräta plan, kan du hitta spänningsvektorn på vilket annat plan som helst som passerar genom denna punkt med hjälp av koordinaten transformationsekvationen.

Cauchys spänningsteorem säger att det finns ett andra rangstensorfält σ ( x , t), kallat Cauchy spänningstensor , oberoende av n , så att T beror linjärt på n :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{eller}}\quad T_{j}^ {(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!

Denna ekvation innebär att spänningsvektorn T ( n ) vid vilken punkt P som helst av mediet som är associerad med ett plan med en normal enhetsvektor n kan uttryckas som en funktion av spänningsvektorerna på plan som är vinkelräta mot de tre koordinataxlarna, dvs. genom komponenterna σ ij av spänningstensorn σ .

För att bevisa detta uttryck, betrakta en tetraeder med tre ytor orienterade i koordinatplanen och med en oändlig yta d A orienterad i en godtycklig riktning som ges av den normala enhetsvektorn n (Figur 2.2). En tetraeder bildas genom att skära ett oändligt litet element längs ett godtyckligt plan med normalen n . Spänningsvektorn på detta plan betecknas som T ( n ) . Spänningsvektorerna som verkar på tetraederns yta betecknas som T ( e 1 ) , T ( e 2 ) och T ( e 3 ) och är per definition komponenter σ ij av spänningstensorn σ . Denna tetraeder kallas ibland för Cauchy-tetraedern . Kraftbalansen, dvs Eulers första rörelselag (Newtons andra rörelselag), ger:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}= \rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,\,\!

där den högra sidan är produkten av massan som finns i tetraedern och dess acceleration: ρ är densiteten, a är accelerationen, h är höjden på tetraedern, om vi tar n -planet som bas. Arean av tetraederytorna vinkelrät mot axlarna kan hittas genom att projicera d A på varje yta (med hjälp av prickprodukten):

dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,\,\!

dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,\,\!

dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,\,\!

och sedan ersätta i ekvationen för att avbryta d A :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac { h}{3}}\right)\mathbf {a} .\,\!

För att betrakta det begränsande fallet där tetraedern krymper till en punkt måste h tendera till 0 (intuitivt rör sig planet med normalen n längs vektorn n till O- sidan ). Som ett resultat tenderar den högra sidan av ekvationen till 0, så

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.\,\!

Betrakta ett element (Figur 2.3) med plan vinkelräta mot det kartesiska koordinatsystemets koordinataxlar. Spänningsvektorerna som är associerade med vart och ett av planen för detta element, dvs T ( e 1 ) , T ( e 2 ) och T ( e 3 ) kan sönderdelas i en normal del och två skjuvkomponenter, dvs komponenter i riktning mot de tre koordinataxlarna. För ett specialfall av en yta med en normal enhetsvektor orienterad i riktningen för x 1 -axeln betecknar vi normalspänningen som σ 11 , och de två skjuvspänningarna som σ 12 och σ 13 (det andra indexet indikerar den parallella koordinaten axel):

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}.

Använda en indexpost:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j} =\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.

De nio komponenterna σ ij av spänningsvektorerna är komponenterna i tensorn av andra rangen i det kartesiska koordinatsystemet, kallad Cauchy stresstensor , som helt bestämmer spänningstillståndet vid en punkt och ges av matrisen

{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\ mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matris}}\right] =\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{ 23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{ xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _ {zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\höger]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{ xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end {matris}}\höger],

där σ 11 , σ 22 och σ 33 är normalspänningar, σ 12 , σ 13 , σ 21 , σ 23 , σ 31 och σ 32 är skjuvspänningar (tangentialspänningar). Det första indexet i indikerar att spänningen verkar i ett plan vinkelrätt mot xi -axeln och det andra indexet j anger i vilken riktning spänningen verkar. Spänningsvektorkomponenten är positiv om den verkar i koordinataxlarnas positiva riktning och om planet i vilken den verkar har en utåtriktad normalvektor som pekar i koordinaternas positiva riktning.

Med hjälp av komponenterna i spänningstensorn kan vi alltså skriva:

{\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+ \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\& =\summa _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e } _{j}\right)n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}},

eller, vilket är detsamma:

T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.

Alternativt i matrisform:

\left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf { n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{ \begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\ sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matris}}\höger].

Voigt-notationen för Cauchy-spänningstensorrepresentationen används för enkelhetens skull i närvaro av spänningstensorsymmetri, för att uttrycka spänningen som en sexdimensionell vektorform:

{\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{ 5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}.\,\!

Voigts notation används ofta för att representera spännings-töjningsförhållanden i solid mekanik och för att förbättra beräkningseffektiviteten i strukturell mekanik programvara.

Stresstensortransformationsregel

Det kan visas att spänningstensorn är en kontravariant tensor av andra rangen. När man går från x i - koordinatsystemet till x i '-koordinatsystemet omvandlas σ ij -komponenterna i det ursprungliga systemet till σ ij '-komponenter i det nya systemet i enlighet med tensortransformationsregeln (Figur 2.4):

\sigma _{ij}^{'}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{eller}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\ mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T},

där A är en rotationsmatris med komponenter a ij . I matrisform skrivs detta som

\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}^{'}&\sigma _{12}^{'}&\sigma _{13}^{'}\\\sigma _{ 21}^{'}&\sigma _{22}^{'}&\sigma _{23}^{'}\\\sigma _{31}^{'}&\sigma _{32}^{' }&\sigma _{33}^{'}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21 }&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}& \sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32} &\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_ {32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matris}}\höger].

Att utöka matrisoperationen och förenkla termerna med spänningstensor symmetri ger:

\sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\ sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23} ,

\sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\ sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23} ,

\sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\ sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23} ,

{\begin{aligned}\sigma _{12}'=&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13 }a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23} +a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{23}'=&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33} +a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{13}'=&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33} +a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}

Mohr-cirkeln för spänningar är en grafisk representation av denna transformation.

Normal- och skjuvspänningar

Värdet på normalspänningskomponenten σ n för varje spänningsvektor T ( n ) som verkar på ett godtyckligt plan med en normal enhetsvektor n vid en given punkt, uttryckt med spänningstensorn σ ij komponenterna σ , är skalärprodukten av spänningen vektor och normalenhetsvektorn:

\sigma _{\mathrm {n} }=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} =T_{i}^{(\mathbf {n} ) }n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.

Storleken på skjuvspänningskomponenten τ n som verkar i ett plan som spänns av två vektorer T ( n ) och n kan hittas med hjälp av Pythagoras sats :

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _ {\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}- \sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}

var $\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n } )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_ {j}n_{k}.$

Jämviktsekvationer och spänningstensor symmetri

När kroppen är i jämvikt, uppfyller spänningstensorkomponenterna vid varje punkt i kroppen jämviktsekvationerna:

\sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!

Till exempel, för en hydrostatisk vätska under jämviktsförhållanden, har spänningstensorn formen:

{\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}}),\

var är det hydrostatiska trycket och anger Kronecker-symbolen. $sid$ ${\delta _{ij))\$

Samtidigt kräver jämvikt att summan av moment kring en godtycklig punkt är lika med noll, vilket leder till slutsatsen att spänningstensorn måste vara symmetrisk, dvs.

\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!

Men i momentteorier, det vill säga i närvaro av moment per volymenhet, är spänningstensorn inte symmetrisk. Detta gäller även när Knudsen-talet är nära 1 , eller för media som en icke-newtonsk vätska, vilket kan leda till en rotationsmässigt icke-invariant vätska, såsom en polymer. $K_{n}\högerpil 1\,\!$

Huvudspänningar och spänningsinvarianter

Vid varje punkt i en stressad kropp finns det minst tre plan, kallade huvudplan , med normalvektorer , kallade huvudriktningar , där motsvarande spänningsvektor är vinkelrät mot planet, det vill säga parallellt med eller i samma riktning som normalvektor och där det inte finns några normala skjuvspänningar . De tre spänningarna som är normala till dessa huvudplan kallas huvudspänningar . $\mathbf {n} \,\!$ $\mathbf {n} \,\!$ $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$

Komponenterna i spänningstensorn beror på orienteringen av koordinatsystemet vid den aktuella punkten. Men själva spänningstensorn är en fysisk storhet och är som sådan oberoende av det koordinatsystem som valts för att representera den. Varje tensor är associerad med vissa invarianter, som inte heller beror på det valda koordinatsystemet. Till exempel är en vektor en enkel tensor av första rang. I tre dimensioner har den tre komponenter. Värdet på dessa komponenter kommer att bero på det koordinatsystem som valts för att representera vektorn, men storleken på vektorn är en fysisk storhet (skalär) och oberoende av det kartesiska koordinatsystemet. På liknande sätt har varje andrarangstensor (såsom spännings- och töjningstensorerna) tre oberoende invarianta storheter associerade med sig. En uppsättning av sådana invarianter är spänningstensorns huvudspänningar, som är egenvärden för spänningstensormatrisen. Deras riktningsvektorer är huvudriktningar eller egenvektorer. $\sigma _{ij}\,\!$

Spänningsvektorn parallell med enhetsnormalvektorn : $\mathbf {n} \,\!$

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} \,\!

var är proportionalitetskonstanten, som i detta speciella fall motsvarar värdena för vektorerna för normala spänningar eller huvudspänningar. $\lambda \,\!$ $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$

Med tanke på det och , kan vi skriva: $T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}\,\!$ $n_{i}=\delta _{ij}n_{j}\,\!$

{\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\ sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\ \\end{aligned}}\,\!

Det är ett homogent system, det vill säga ett system av tre linjära ekvationer med okända lika med noll. För att få en icke-trivial (icke-noll) lösning för determinanterna måste matrisen som består av koefficienterna vara lika med noll, det vill säga systemet måste vara singular. På det här sättet: $n_{j}\,\!$ $n_{j}\,\!$

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33 }-\lambda \\\end{vmatrix}}=0\,\!

Att skriva determinanten leder till den karakteristiska ekvationen :

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0\,\!

var

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}\\I_{2 }&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{ vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11 }&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{ 31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right )\\I_{3}&=\det(\sigma _{ij})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\ sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{ 31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}\,\!

Den karakteristiska ekvationen har tre reella rötter , på grund av symmetrin hos spänningstensorn. , och är huvudspänningarna beroende på egenvärdena . Huvudspänningar är unika för en given spänningstensor. Därför, från den karakteristiska ekvationen, koefficienterna , och , kallade första, andra och tredje invarianter av spänningstensor, respektive, har alltid samma värde oavsett orienteringen av koordinatsystemet. $\lambda _{i}\,\!$ $\sigma _{1}=max\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{3}=min\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}\,\!$ $\lambda _{i}\,\!$ $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

För varje egenvärde finns det en icke-trivial lösning på ekvationssystemet . Dessa lösningar har betydelsen av principiella riktningar eller egenvektorer som definierar det plan i vilket huvudspänningarna verkar. Huvudspänningar och huvudriktningar kännetecknar spänningen vid en punkt och är oberoende av orienteringen. $n_{j}\,\!$ $\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0\,\!$

I ett koordinatsystem med axlar orienterade längs huvudriktningarna, vilket innebär att normalspänningar är huvudspänningar, representeras spänningstensorn av en diagonal matris av formen:

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

Spänningstensorinvarianterna , , och kan uttryckas i termer av huvudspänningar. I synnerhet är de första och tredje invarianterna spåret och determinanten för spänningstensormatrisen: $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\ sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2 }\sigma _{3}\\\end{aligned}}\,\!

På grund av sin enkelhet är koordinatsystemet som är förknippat med huvudspänningar ofta användbart när man beaktar tillståndet hos ett elastiskt medium vid en viss punkt. Huvudspänningar används ofta i följande ekvation för att utvärdera spänningar i x- och y- riktningarna eller axiella spänningar och böjspänningar i en del [17] . De huvudsakliga normalspänningarna används sedan för att beräkna von Mises-spänningarna och slutligen säkerhetsfaktorn och säkerhetsfaktorn.

\sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\ frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Genom att bara använda delar av uttrycket under kvadratroten kan du få maximal (för plus) och minsta (för minus) skjuvspänning. Detta skrivs som:

\tau _{max},\tau _{min}=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right )^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Maximala och lägsta skjuvspänningar

Den maximala skjuvspänningen eller den maximala huvudsakliga skjuvspänningen är lika med halva skillnaden mellan de största och minsta huvudspänningarna och verkar i ett plan som delar vinkeln mellan riktningarna för den största och minsta av huvudspänningarna, det vill säga den maximala skjuvspänningen spänningen är orienterad i en vinkel θ från de huvudsakliga spänningsplanen. Den maximala skjuvspänningen uttrycks som $45^{\cirkel }$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\mathrm {max} }-\sigma _{\mathrm {min} }\right |\,\!

Förutsatt då: $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\,\!$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|\,\!

Den normala komponenten av spänningen som verkar på planet för maximal skjuvspänning är inte lika med noll och är lika med

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)\,\!$

Spänningsavvikarens tensor

Spänningstensorn kan representeras som två spänningstensorer: $\sigma _{ij}\,\!$

den genomsnittliga hydrostatiska spänningstensorn eller den genomsnittliga normala spänningstensorn , som är associerad med en förändring i volymen hos en stressad kropp; såväl som $\pi \delta _{ij}\,\!$
deviatorkomponent, kallad stressdeviatortensor, , som är relaterad till förvrängningen av den första. $s_{ij}\,\!$

I en matematisk formulering

\sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,

var definieras medelspänningen som $\pi\,\!$

\pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3} }={\tfrac {1}{3}}I_{1}.\,

Tryck ( ) definieras vanligtvis som den negativa tredjedelen av spåret av spänningstensorn minus eventuell spänning som bidrar med hastighetsdivergens, dvs. $sid$

p=\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\summa _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k)){\partial x_{k))}-\pi ,

där är proportionalitetskonstanten, är nabla-operatorn , är den k: te kartesiska koordinaten, är hastigheten och är den k: te komponenten av hastigheten i kartesiska koordinater. $\lambda$ $\nabla$ $x_k$ ${\vec {u}}$ $Storbritannien}$ ${\vec {u}}$

Den deviatoriska spänningstensorn kan erhållas genom att subtrahera den hydrostatiska spänningstensorn från Cauchy-spänningstensorn:

{\begin{aligned}\ s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk)){3))\delta _{ij},\,\\\ vänster[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\\ \end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\ sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matris}}\höger]-\vänster[{ \begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}- \pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}& \sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \\\end{matris}}\höger].\\\end{justerad}}

Spänningsavvikare tensorinvarianter

Eftersom detta är en andra rangstensor, har spänningsavvikartensorn också en uppsättning invarianter som kan erhållas med samma procedur som vi använde för att beräkna spänningstensorinvarianterna. Det kan visas att spänningstensorns huvudriktningar sammanfaller med spänningstensorns huvudriktningar . Sålunda har dess karakteristiska ekvation formen $s_{ij}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$

\left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{ 3}=0,\,

där , och är de första, andra och tredje invarianterna av spänningsavvikarens tensor, respektive. Deras värden är desamma (fasta) oavsett orienteringen av det valda koordinatsystemet. Dessa invarianter av spänningsavvikarens tensor uttrycks som funktioner av komponenterna eller dess huvudvärden , , och , eller på liknande sätt som funktioner av eller dess huvudvärden , , och . Verkligen $J_{1}\,\!$ $J_{2}\,\!$ $J_{3}\,\!$ $s_{ij}\,\!$ $s_{1}\,\!$ $s_{2}\,\!$ $s_{3}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\sigma _{1}\,\!$ $\sigma _{2}\,\!$ $\sigma _{3}\,\!$

{\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\,\\J_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ ji}\\&={\tfrac {1}{2}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})\\&={\ tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2} +(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{ 31}^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}\vänster[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2} -\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{3}}I_ {1}^{2}-I_{2},\,\\J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\tfrac {1}{3}}s_{ij}s_ {jk}s_{ki}\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\tfrac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\tfrac { 1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}.\,\end{aligned}}

Eftersom spänningsavvikarens tensor motsvarar det rena skjuvtillståndet. $s_{kk}=0\,\!$

En kvantitet som kallas ekvivalent spänning eller von Mises spänning används vanligtvis inom solid mekanik. Det definieras som

\sigma _{\mathrm {e} }={\sqrt {3~J_{2))}={\sqrt ({\tfrac {1}{2))~\left[(\sigma _{ 1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1}) ^{2}\right]}}\,.

Oktaedriska spänningar

Om man betraktar huvudriktningarna som koordinataxlar, kallas ett plan vars normalvektor gör lika vinklar med var och en av huvudaxlarna (det vill säga har riktningscosinus lika med ) ett oktaedriskt plan . Det finns totalt åtta oktaedriska plan (fig. 6). Normal- och skjuvkomponenterna för spänningstensorn på dessa plan kallas oktaedriska normalspänningar respektive oktaedriska skjuvspänningar . $|1/{\sqrt {3}}|\,\!$ $\sigma _{\mathrm {okt} }\,\!$ $\tau _{\mathrm {okt} }\,\!$

Eftersom spänningstensorn vid punkten O (fig. 6) i huvudaxlarna är lika med

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

då ges spänningsvektorn på det oktaedriska planet av:

{\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {okt} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _ {3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1} +\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}\,\!

Den normala komponenten av spänningsvektorn vid punkten O, associerad med det oktaedriska planet, är lika med

{\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {okt} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3 }\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{ 1}\end{aligned}}\,\!

vilket visar sig vara lika med den genomsnittliga normalspänningen eller den hydrostatiska spänningen. Detta värde är detsamma för alla åtta oktaedriska plan. Skjuvspänningen i det oktaedriska planet är då lika med

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {okt} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{ \mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2} \right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _ {2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1 }{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned} }\,\!

Alternativa sätt att representera spänningar

Andra användbara sätt att representera stress inkluderar den första och andra Piola-Kirchhoff-spänningstensoren, Biot-spänningstensorn och Kirchhoff-spänningstensorn.

Piola-Kirchhoff stresstensor

I fallet med finita töjningar uttrycker Piola-Kirchhoff-spänningstensorerna spänningen med avseende på någon referenskonfiguration. Detta i motsats till Cauchy-spänningstensorn, som uttrycker spänningen i förhållande till den aktuella konfigurationen. För infinitesimala deformationer och rotationer är Cauchy-tensorerna och Piola-Kirchhoff-tensoren identiska.

Cauchy-spänningstensorn relaterar spänningarna i den aktuella konfigurationen, töjningsgradienten och töjningstensorerna beskrivs genom att jämföra en kropps rörelse med en referenskonfiguration. sålunda är inte alla tensorer som beskriver materialets tillstånd i referens- eller nuvarande konfiguration. Att beskriva spänningar, töjningar och töjningar i en referens- eller strömkonfiguration skulle förenkla definitionen av konstitutiva modeller (till exempel är Cauchy-spänningstensorn en variant av ren rotation, medan töjningstensorn är invariant; därför uppstår problem med att definiera en konstitutiv modell som relaterar en föränderlig tensor i termer av att vara invariant under ren rotation, eftersom konstitutiva modeller per definition måste vara invarianta under rena rotationer). Den första Piola-Kirchhoff-spänningstensorn, en av de möjliga lösningarna på detta problem. Den definierar en familj av tensorer som beskriver konfigurationen av en kropp i dess nuvarande eller referensläge. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\boldsymbol {P}}$

Den första Piola-Kirchhoff-spänningstensorn relaterar krafter i den nuvarande ("spatiala") konfigurationen till områden i referens- ("material")-konfigurationen. ${\boldsymbol {P}}$

{\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~

var är töjningsgradienten och är Jacobi- determinanten . ${\boldsymbol {F}}$ $J=\det {\boldsymbol {F}}$

När det gäller komponenter med avseende på en ortonormal bas ges den första Piola-Kirchhoff spänningstensorn av

P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{k}}}~\,\!

Eftersom den länkar samman olika koordinatsystem är den första Piola-Kirchhoff-spänningstensorn en tvåpunktstensor. I allmänhet är den symmetrisk. Den första Piola–Kirchhoff-spänningstensorn är en tredimensionell generalisering av det endimensionella tekniska spänningskonceptet.

Om mediet roterar utan att ändra spänningstillståndet (styv rotation), kommer komponenterna i den första Piola-Kirchhoff spänningstensorn att förändras beroende på mediets orientering.

Den andra Piola-Kirchhoff-spänningstensorn

Medan den första Piola-Kirchhoff-spänningstensorn relaterar krafterna i den aktuella konfigurationen till regionerna i referenskonfigurationen, relaterar den andra Piola-Kirchhoff-spänningstensorn krafterna i referenskonfigurationen till regionerna i referenskonfigurationen. Kraften i referenskonfigurationen beräknas genom en mappning som bevarar det relativa förhållandet mellan kraftens riktning och normalen för området i referenskonfigurationen. ${\bold symbol {S}}$

{\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~ .

I indexnotation med avseende på ortonormal basis

S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I)) {\partial x_{k))}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{m))}~\sigma _{km}\!\,\!

Detta är en symmetrisk enpunktstensor.

Om mediet roterar utan att ändra spänningstillståndet (styv rotation), förblir komponenterna i den andra Piola-Kirchhoff spänningstensorn konstanta, oberoende av materialets orientering.

Länkar

↑ Gordon, JE Strukturer, eller varför saker inte faller ner. — 2. Da Capo Press. - Cambridge, MA : Da Capo Press, 2003. - ISBN 0306812835 .
↑ Marchetti, M.C. (2013). "Hydrodynamik hos mjuk aktiv materia". Recensioner av modern fysik . 85 (3): 1143-1189. DOI : 10.1103/RevModPhys.85.1143 .
↑ Sharma, B och Kumar, R "Uppskattning av bulkviskositet för utspädda gaser med användning av en icke-jämviktsmolekylär dynamikstrategi." Physical Review E ,100, 013309 (2019)
↑ 12 mässor _
↑ 1 2 3 4 Atanackovic
↑ Smith & Truesdell, 1993 , sid. 97
↑ Slakt
↑ 1 2 3 Chen & Han, 2007
↑ 123 Irgens _ _
↑ 1 2 3 Liu
↑ 12 Chadwick _
↑ Lubliner
↑ Truesdell & Topin, 1960
↑ Fung
↑ Basar
↑ Hjelmstad
↑ Hamrock
↑ Wu
↑ Chatterjee
↑ Jaeger
↑ Ameen, 2005
↑ Prager

Litteratur

Ameen, Mohammed. Beräkningselasticitet: elasticitetsteori och finita och gränselementmetoder . - Alpha Science Int'l Ltd., 2005. - S. 33–66. — ISBN 1-84265-201-X .
Atanackovic, Teodor M. Teori om elasticitet för forskare och ingenjörer . - Springer, 2000. - S. 1–46. — ISBN 0-8176-4072-X .
Öl, Ferdinand Pierre. Mekanik av material . - McGraw-Hill Professional, 1992. - ISBN 0-07-112939-1 .
Brady, BHG Bergmekanik för underjordisk gruvdrift . — Tredje. - Kluwer Academic Publisher, 1993. - S. 17–29. - ISBN 0-412-47550-2 .
Chadwick, Peter. Kontinuummekanik: kortfattad teori och problem . - 2. - Dover Publications, 1999. - S. 90-106. — ISBN 0-486-40180-4 .
Chakrabarty, J. Teori om plasticitet . - 3. - Butterworth-Heinemann, 2006. - S. 17–32. - ISBN 0-7506-6638-2 .
Chatterjee, Rabindranath. Matematisk teori för kontinuummekanik . - Alpha Science Int'l Ltd., 1999. - P. 111-157. — ISBN 81-7319-244-8 .
Chen, Wai-Fah. Plasticitet för konstruktionsingenjörer / Wai-Fah Chen, Da-Jian Han. - J. Ross Publishing, 2007. - S. 46-71. — ISBN 1-932159-75-4 .
Chou, Pei Chi. Elasticitet: tensor, dyadiska och tekniska tillvägagångssätt . - Dover Publications, 1992. - S. 1-33. - ISBN 0-486-66958-0 .
Davis, R. O. Elasticitet och geomekanik . - Cambridge University Press, 1996. - S. 16-26. - ISBN 0-521-49827-9 .
Dieter, G.E. (3 uppl.). (1989). Mekanisk metallurgi . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8 .
Fung, Yuan-cheng. Klassisk och beräkningsmässig solid mekanik . — World Scientific, 2001. — S. 66–96. - ISBN 981-02-4124-0 .
Hamrock, Bernard. Grunderna för maskinelement . - McGraw-Hill, 2005. - S. 58–59. — ISBN 0-07-297682-9 .
Hjelmstad, Keith D. Fundamentals of structural mechanics . - 2. - Springer, 2005. - S. 103-130. — ISBN 0-387-23330-X .
Holtz, Robert D. An introduction to geotechnical engineering . - Prentice-Hall, 1981. - ISBN 0-13-484394-0 .
Irgens, Fridtjov. Kontinuummekanik . — Springer, 2008. — S. 42–81. — ISBN 3-540-74297-2 .
Jaeger, John Conrad. Grunderna i bergmekaniken . — Fjärde. - Wiley-Blackwell, 2007. - S. 9-41. — ISBN 0-632-05759-9 .
Jones, Robert Millard. Deformationsteori om plasticitet . - Bull Ridge Corporation, 2008. - S. 95–112. - ISBN 0-9787223-1-0 .
Jumikis, Alfreds R. Teoretisk jordmekanik: med praktiska tillämpningar på jordmekanik och grundläggningsteknik . - Van Nostrand Reinhold Co., 1969. - ISBN 0-442-04199-3 .
Landau, LD och EMLifshitz. (1959). Teori om elasticitet .
Love, A.E.H. (4 uppl.). (1944). Avhandling om den matematiska teorin om elasticitet . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9 .
Liu, I-Shih. Kontinuummekanik . - Springer, 2002. - S. 41–50. — ISBN 3-540-43019-9 .
Lubliner, Jacob. Plasticitetsteori (reviderad upplaga) . - Dover Publications, 2008. - ISBN 0-486-46290-0 . Arkiverad31 mars 2010 påWayback Machine
Mase, George E. Kontinuummekanik . - McGraw-Hill, 1970. - S. 44-76. — ISBN 0-07-040663-4 .
Mase, G. Thomas. Kontinuummekanik för ingenjörer . — För det andra. - CRC Press, 1999. - S. 47-102. — ISBN 0-8493-1855-6 .
Marsden, JE Mathematical Foundations of Elasticity . - Dover Publications, 1994. - S. 132-142. — ISBN 0-486-67865-2 .
Parry, Richard Hawley Grey. Mohrcirklar, stressbanor och geoteknik . - 2. - Taylor & Francis, 2004. - S. 1–30. - ISBN 0-415-27297-1 .
Prager, William. Introduktion till mekanik för continua . - Dover Publications, 2004. - S. 43-61. — ISBN 0-486-43809-0 .
Rees, David. Basic Engineering Plasticity - En introduktion till teknik- och tillverkningstillämpningar . — Butterworth-Heinemann, 2006. — S. 1–32. — ISBN 0-7506-8025-3 .
Smith, Donald Ray. En introduktion till kontinuummekanik - efter Truesdell och Noll . - Springer, 1993. - ISBN 0-7923-2454-4 .
Timosjenko , Stephen P. Teorin om elasticitet. — Tredje. - McGraw-Hill International Editions, 1970. - ISBN 0-07-085805-5 .
Timosjenko, Stephen P. Materialens styrka: med en kort redogörelse för historien om elasticitetsteorin och strukturteorin. - Dover Publications, 1983. - ISBN 0-486-61187-6 .
Wu, Han-Chin. Kontinuummekanik och plasticitet . — CRC Press, 2005. — S. 45–78. — ISBN 1-58488-363-4 .
C. Truesdell och R.A. Topin. De klassiska fältteorierna // Encyclopaedia of Physics. - Berlin: Springer-Verlag, 1960. - Vol. III/I.