Centripetalacceleration

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 april 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Centripetal (normal) acceleration - en komponent av kroppens acceleration, som kännetecknar förändringshastigheten i hastighetsvektorns riktning (den andra komponenten, tangentiell acceleration , kännetecknar förändringen i hastighetsmodulen). Riktad mot centrum av krökningen av banan, som termen är förknippad med. Indikeras av symbolen som valts för acceleration, med tillägg av "normal"-ikonen: (mindre vanligt ); i SI-systemet mäts det i m/s 2 . ${\vec {a}}_{n}$ ${\vec {w}}_{n}$

Ett exempel på rörelse med icke-noll centripetalacceleration är rörelse längs en cirkel (i detta fall är den riktad mot cirkelns mitt). ${\vec {a}}_{n}$

I klassisk mekanik orsakas normal acceleration av kraftkomponenter riktade ortogonalt mot hastighetsvektorn. Till exempel kännetecknas rörelsen av ett rymdobjekt i omloppsbana av centripetalacceleration orsakad av gravitation . Den komponent av summan av krafter som bestämmer förekomsten av normal acceleration kallas centripetalkraft . Ett relaterat koncept för icke-tröghetsreferensramar är centrifugalkraft .

Den oscillerande accelerationen, betraktad i fall av rotation av kroppen runt axeln, i projektion på ett plan vinkelrätt mot axeln, framstår som centripetal.

Allmän formel

Normal acceleration beräknas med formeln $en$

a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}

eller (med hjälp av relationen ) $v=\omega R$

a_n = \omega^2 R

där är den (momentana) linjära rörelsehastigheten längs banan, är den (momentana) vinkelhastigheten för rörelsen i förhållande till banans krökningscentrum, är krökningsradien för banan vid en given punkt. $v$ $\omega$ $R$

Uttryck kan skrivas om i vektorform:

\mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} =\omega ^{2}R\mathbf {n}

Här är en enhetsvektor riktad från en given punkt i banan till kurvans centrum. $\mathbf n$

Dessa formler är tillämpliga både på en speciell situation med enhetlig rörelse ( const ) och på ett godtyckligt fall. I det enhetliga fallet sammanfaller den normala accelerationen med den fulla. I det allmänna fallet är normalacceleration endast en komponent av vektorn vinkelrät mot rörelsebanan (vektor ), och fullaccelerationsvektorn inkluderar också en tangentiell komponent , samstyrd av en tangent till rörelsebanan [1] . $|{\vec {v}}|=\,$ ${\vec {a}}$ $\vec{v}$ $a_{\tau }=dv/dt$

Härledning av formeln

För att dekomponera accelerationen i tangentiell och normal, är det möjligt att differentiera hastighetsvektorn i tid , representerad som en enhetstangensvektor : $\mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt))={\frac {\ mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}=\mathbf {a} _{\ tau }+v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl)){\frac {dl}{dt))=\mathbf {a} _{\tau }+v^{2}{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}{\frac {d\mathbf {\tau } }{d\varphi }}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\,\mathbf {n}

Här är den första termen tangentiell acceleration och den andra är normalaccelerationen. V betecknar enhetsnormalvektorn, betecknar krökningsradien för banan vid den betraktade punkten och betecknar elementet för banans längd. En liten del av en kurva kan betraktas som en cirkelbåge, och dess radie är krökningsradien . Transformationskedjan använder de uppenbara relationerna och (där finns en liten rotationsvinkel runt krökningscentrum). $\mathbf n$ $R$ $dl$ $R$ $dl/dt=v$ $dl=R\,d\varphi$ $d\varphi$

Jämlikhet följer av geometriska överväganden. Skillnaden mellan enhetstangensvektorerna vid de betraktade ( ) och nära den ( ) punkterna i banan är , där är vinkeln mellan och . Denna skillnad är riktad i en vinkel mot normalen vid den aktuella punkten. Om den är liten kommer det att finnas ett sammanträffande med normalvektorn . Med litenhet är det också möjligt att utöka sinus till en Taylor-serie . Som ett resultat kommer vi fram till eller, för infinitesimals, . $d\mathbf {\tau } /d\varphi =\mathbf {n}$ $\Delta \mathbf {\tau } =\mathbf {\tau } '-\mathbf {\tau }$ ${\mathbf \tau }$ $\mathbf {\tau } '$ $2\sin(\Delta \varphi /2)$ $\Delta \varphi$ $\mathbf {\tau } '$ ${\mathbf \tau }$ $\Delta \varphi /2$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\mathbf n$ $\Delta \varphi$ $\Delta \mathbf {\tau } =\Delta \varphi \,\mathbf {n}$ $d\mathbf {\tau } /d\varphi =d\varphi /d\varphi \,\mathbf {n}$

På krökningsradien

Att beräkna krökningsradien och koordinaterna för en banas krökningscentrum är ett matematiskt problem (se Krökning ). Om kurvan ges av ekvationen , så återfinns radien för dess krökning vid punkten ( , ) som [2] $y = f(x)$ $x$ $y$

R={\frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}

och läget för krökningscentrum - enligt formlerna [2]

\xi =x-{\frac {f'(1+f'^{2})}{f'')),\qquad \eta =y+{\frac {1+f'^{2} }{f''}}}

Enhetens normalvektor i detta fall kommer att vara ( , - orts ) $\vec{i}$ $\vec{j}$

{\vec {n}}={\frac {\xi -x}{R}}\,{\vec {i}}+{\frac {\eta -y}{R}}\,{ \vec {j}}

Om beroendet av radievektorn för en materialpunkt på tiden är känt (ur en matematisk synvinkel betyder detta att ställa in banan i en parametrisk form), så kan krökningsradien hittas genom acceleration: ${\vec {r}}(t)$

R={\frac {v^{2}}{\sqrt {a^{2}-a_{\tau }^{2}}}}

var och ; tidigare hittat hastigheten som . Krökningscentrum i det allmänna fallet kommer inte att sammanfalla med radievektorns ursprung. ${\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt$ $a_{\tau }=dv/dt$ ${\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt$

Motivation, anmärkningar

Att nedbrytningen av accelerationsvektorn till komponenter - en längs tangenten till banan (tangentiell acceleration) och en annan ortogonal mot den (normal acceleration) - kan vara bekväm och användbar är ganska uppenbart i sig. När man rör sig med en konstant modulohastighet blir den tangentiella komponenten lika med noll, det vill säga i detta viktiga speciella fall återstår bara den normala komponenten. Dessutom har var och en av dessa komponenter sina egna uttalade egenskaper och struktur, och den normala accelerationen innehåller ett ganska viktigt och icke-trivialt geometriskt innehåll i strukturen av dess formel. Det speciella fallet med rörelse i en cirkel är också oerhört viktigt.

Det absoluta värdet av tangentiell acceleration beror endast på markacceleration, vilket sammanfaller med dess absoluta värde, i motsats till det absoluta värdet av normal acceleration, som inte beror på markacceleration, utan beror på markhastighet.

Begreppets historia

Tydligen var Huygens den första som fick de korrekta formlerna för centripetalacceleration (eller centrifugalkraft) . Praktiskt taget sedan den tiden har övervägandet av centripetalacceleration varit en vanlig teknik för att lösa mekaniska problem.

Något senare spelade dessa formler en betydande roll i upptäckten av lagen om universell gravitation (centripetalaccelerationsformeln användes för att erhålla lagen om gravitationskraftens beroende av avståndet till gravitationskällan, baserat på Keplers tredje lag härledd från observationer ).

På 1800-talet hade övervägande av centripetalacceleration redan blivit ganska rutin för både ren vetenskap och ingenjörstillämpningar.

Se även

Anteckningar

↑ Som framgår av formeln är tangentiell acceleration helt enkelt noll när man rör sig med konstant markhastighet.
↑ 1 2 Schneider V. E. et al. En kort kurs i högre matematik. Proc. ersättning för universitet. M., "Högre. skola", c. 368-370.

mekanisk rörelse
referenssystem	tröghetsreferensram Icke-inertiell referensram Sammansatt rörelse Relativitetsprincipen
Materialpunkt	Enhetlig rörelse Rätlinjig rörelse Rörelseekvation Rörelseekvationer i en icke-tröghetsreferensram Bana (väg) rör på sig Fart Acceleration ( centripetalacceleration tangentiell acceleration ) rycka
Fysisk kropp	translationell rörelse Plan-parallell rörelse ( Parallell översättning ) Sfärisk rörelse ( Roterande rörelse Cirkulär rörelse Precession nutation )
kontinuum	laminärt flöde turbulent flöde
Relaterade begrepp	Hastighetsplan Tåg dragkraft Sex frihetsgrader