Markov ögonblick

I matematik är stopppunktsteorin eller Markov -tiden relaterad till problemet med att tajma för att vidta en viss åtgärd för att maximera den förväntade belöningen eller minimera den förväntade kostnaden. Problemet med stopppunkten kan hittas inom områdena statistik , ekonomi och finansiell matematik (associerat med amerikansk optionsprissättning ) . Det mest anmärkningsvärda exemplet relaterat till ögonblicket för stopp är problemet med kräsen brud . Problemet med stoppmoment kan ofta skrivas i form av Bellman-ekvationen och löses därför ofta med dynamisk programmering .

Definition

Diskret-tidsfall

Som regel är problemet med stoppögonblicket associerat med två objekt:

En sekvens av slumpvariabler vars gemensamma fördelning antas vara känd $X_{1},X_{2},\ldots$
En sekvens av "belönande" funktioner som beror på de observerade värdena för slumpvariabler i 1.: ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$ $y_{i}=y_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i})$

Med tanke på dessa objekt är problemet detta:

Du, som observerar sekvensen av slumpvariabler, på varje kan välja att antingen sluta observera eller fortsätta $i$
Om du slutar titta kommer du att bli belönad $i$ $y_{i}$
Du vill välja en stoppregel för att maximera den förväntade belöningen (eller, på motsvarande sätt, minimera den förväntade förlusten)

Kontinuerligt tidsfall

Betrakta förstärkningen av processer definierade på ett filtrerat sannolikhetsutrymme och antag att detta är en anpassning av filtreringen. Stopptidsproblemet är att hitta den stopptid som maximerar den förväntade utdelningen . $G=(G_{t})_{t\geq 0}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ $G$ $\tau ^{*}$

V_{t}^{T}=\mathbb {E} G_{\tau ^{*}}=\sup _{t\leq \tau \leq T}\mathbb {E} G_{\tau }

där kallas värdet av funktionen . Det kan spela roll här . ${\displaystyle V_{t}^{T))$ $T$ $\infty$

En mer specifik formulering är följande. Vi betraktar en anpassad stark Markov-process definierad på ett filtrerat sannolikhetsutrymme där anger sannolikheten för mätning, där den slumpmässiga processen börjar med . Med hänsyn till kontinuerliga funktioner och i problemet med stopptiden ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} _{x})$ $\mathbb {P} _{x}$ $x$ $M,L$ $K$

V(x)=\sup _{0\leq \tau \leq T}\mathbb {E} _{x}\left(M(X_{\tau})+\int _{0}^{ \tau }L(X_{t})dt+\sup _{0\leq t\leq \tau }K(X_{t})\right).

Detta kallas ibland MLS-formuleringen (Meyer, Lagrange respektive Supremum). [ett]

Lösningsmetoder

Det finns två sätt att lösa problemet med stopppunkten. När den underliggande processen (eller processförstärkningen) beskrivs av dess ovillkorliga änddimensionella fördelning, är den lämpliga lösningsmetoden Martingale-metoden, så kallad för att den använder Martingale- teori , det viktigaste konceptet är Snells utveckling . I det diskreta fallet, om planeringshorisonten är ändlig, kan problemet enkelt lösas med hjälp av dynamisk programmering . $T$

När den underliggande processen definieras av en familj av (villkorliga) övergångsfunktioner som leder till en Markov-familj av probabilistiska övergångar, kan de kraftfulla analytiska verktygen i Markov-processteorin ofta användas och detta tillvägagångssätt kallas Markov-metoden. Lösningen erhålls vanligtvis genom att lösa tillhörande problem med fria gränser (Stefanproblem).

Hoppspridningsresultat

Låt vara avgiftsdiffusionen in från den stokastiska differentialekvationen $Y_{t}$ ${\mathbb {R}}^{k}$

dY_{t}=b(Y_{t})dt+\sigma (Y_{t})dB_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{k))\gamma (Y_{t- },z){\bar {N}}(dt,dz),\quad Y_{0}=y

var är en -dimensionell Brownsk rörelse , detta är ett -dimensionellt kompenserat Poisson slumpmått, , , och fungerar så att en unik lösning finns. Låt vara en öppen uppsättning (solvensområde) och $B$ $m$ ${\bar {N))$ $l$ ${\displaystyle b:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k))$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times m))$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k\times l))$ $(Y_{t})$ ${\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{k}$

\tau _{\mathcal {S}}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin {\mathcal {S}}\}

konkurstid. Optimalt stoppproblem:

V(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\mathcal {S))}J^{\tau }(y)=\sup _{\tau \leq \tau _{\ mathcal {S))}\mathbb {E} _{y}\left[M(Y_{\tau })+\int _{0}^{\tau }L(Y_{t})dt\right].

Det visar sig att under vissa regularitetsförhållanden [2] innehåller följande verifiering av satsen:

Om funktionen uppfyller $\phi :{\bar {\mathcal {S}}}\to \mathbb {R}$

$\phi \in C({\bar {\mathcal {S}}})\cap C^{1}({\mathcal {S}})\cap C^{2}({\mathcal {S }}\setminus \partial D)$ där områden är fortsättningar av , $D=\{y\in {\mathcal {S}}:\phi (y)>M(y)\}$
$\phi \geq M$ på och ${\mathcal {S))$
${\mathcal {A}}\phi +L\leq 0$ på , var kommer en infinitesimal generator ifrån ${\mathcal {S}}\setminus \partial D$ ${\mathcal {A}}$ $(Y_{t})$

då för alla . Dessutom, om $\phi (y)\geq V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$

${\mathcal {A}}\phi +L=0$ på $D$

Då för alla och är stopptiden $\phi (y)=V(y)$ ${\displaystyle y\in {\bar {\mathcal {S))))$ ${\displaystyle \tau ^{*}=\inf\{t>0:Y_{t}\notin D\))$

Dessa villkor kan skrivas i en mer kompakt form (integrovariationell ojämlikhet):

$\max \left\{{\mathcal {A}}\phi +L,M-\phi \right\}=0$ på ${\mathcal {S}}\setminus \partial D.$

Exempel

Myntkastning

(Till exempel där konvergerar) $\mathbb {E} (y_{i})$

Du har ett mynt och du kastar det upprepade gånger. Varje gång innan du kastar det kan du sluta kasta det och få betalt (i dollar, låt oss säga) för det genomsnittliga antalet huvuden du ser.

Du vill ha det maximala beloppet du skulle få genom att välja en stoppregel. Om x i (där i ≥ 1) bildar en sekvens av oberoende, identiskt fördelade slumpvariabler med en Bernoulli-fördelning

{\text{Bern}}\left({\frac {1}{2}}\right),

och om

y_{i}={\frac {1}{i}}\sum _{k=1}^{i}X_{k}

sedan i sekvensen kommer det att finnas objekt relaterade till detta problem. $(X_{i})_{i\geq 1}$ ${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1))$

Sälja ett hus

(Till exempel där det inte nödvändigtvis konvergerar) $\mathbb {E} (y_{i})$

Du har ett hus och vill sälja det. Varje dag erbjuds du till ditt hem, och betalar för fortsatt reklam. Om du säljer ditt hem dagligen kommer du att tjäna var . $X_n$ $k$ $n$ $y_{n}$ $y_{n}=(X_{n}-nk)$

Du vill maximera summan du tjänar genom att välja en stoppregel.

I det här exemplet är sekvensen ( ) sekvensen av erbjudanden för ditt hus, och sekvensen av funktion "belöningar" avgör hur mycket du kommer att tjäna. $X_{i}$

Picky Bride Problem

(Till exempel, var är den sista sekvensen) $(X_{i})$

Du observerar en sekvens av objekt som kan sorteras från bäst till sämst. Du vill välja en stoppregel som maximerar dina chanser att välja den bästa funktionen.

Till exempel, om ( n är ett stort antal, kanske) är raden av funktionerna, och detta är chansen att du kommer att välja den bästa egenskapen om du slutar avsiktligt att avvisa funktioner i steg i, då är det de sekvenser som är associerade med detta problem. Detta problem löstes i början av 1960-talet av flera personer. En elegant lösning på sekreterarproblemet och flera modifieringar av detta problem tillhandahålls av en modernare optimal stoppalgoritm (Bruces algoritm). ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n))$ $y_{i}$ $(R_{i})$ $(y_{i})$

Sökteori

Ekonomer har studerat ett antal optimala stopptidsproblem som liknar "sekreterarens problem" och hänvisar vanligtvis till denna typ av analys som "sökteori". Sökteori är särskilt fokuserad på en anställds sökande efter ett högbetalt jobb eller en konsuments sökande efter en billig produkt.

Optionshandel

Vid optionshandel på de finansiella marknaderna kan innehavaren av en amerikansk option utöva rätten att köpa (eller sälja) den underliggande tillgången till ett specificerat pris när som helst före eller vid utgången. Att värdera amerikanska alternativ är alltså i grunden ett optimalt stoppproblem. Överväg den klassiska Black-Scholes-modellen och låt vara den riskfria räntan och utdelningsräntan och aktievolatiliteten. Aktiekursen följer geometrisk Brownsk rörelse $r$ $\delta$ $\sigma$ $S$

S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(r-\delta -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma B_{t }\höger\}

Enligt riskmåttet.

När parametern är oändlig är det optimala stoppproblemet

V(x)=\sup _{\tau }\mathbb {E} _{x}\left[e^{-r\tau }g(S_{\tau })\right]

var är payoff-funktionen för köpalternativet och för insatsalternativet. Variationell ojämlikhet ${\displaystyle g(x)=(xK)^{+))$ ${\displaystyle g(x)=(Kx)^{+))$

\max \left\{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}V''(x)+(r-\delta )xV'(x)-rV (x),g(x)-V(x)\right\}=0

för alla där det är gränsen för fysisk träning. Lösningen är känd [3] $x\in (0,\infty )\setminus \{b\}$ $b$

(Oändlig utmaning) var och $V(x)={\begin{cases}(bK)(x/b)^{\gamma }&x\in (0,b)\\xK&x\in [b,\infty )\end{cases }}$ $\gamma =({\sqrt {\nu ^{2}+2r))-\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad b=\gamma K/(\gamma -1).$
(oändlig hastighet) var och $V(x)={\begin{cases}Kx&x\in (0,c]\\(Kc)(x/c)^{\tilde {\gamma }}&x\in (c,\infty ) \end{cases}}$ ${\tilde {\gamma }}=-({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}+\nu )/\sigma$ $\nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad c={\tilde {\gamma }}K/({\tilde {\gamma }}-1).$

Å andra sidan, när tidsgränsen är ändlig, är problemet relaterat till det tvådimensionella fria gränsproblemet utan en känd lösning i sluten form. Däremot kan olika numeriska metoder användas. Se Black-Scholes Model#American Options för olika värderingsmetoder här, och Fugit för en diskret trädbaserad optimal tid för att träna beräkning.

Se även

Stokastisk kontroll
Markovs beslutsprocess

Länkar

↑ Peskir, Göran; Shiryaev, AlbertOptimala stopp- och fria gränsproblem (ospecificerat) . - 2006. - T. Föreläsningar i matematik. ETH Zürich . - ISBN 978-3-7643-2419-3 . - doi : 10.1007/978-3-7643-7390-0 .
↑ Øksendal, B.; Sulem, AS tillämpad stokastisk kontroll av hoppdiffusioner (neopr.) . - 2007. - ISBN 978-3-540-69825-8 . - doi : 10.1007/978-3-540-69826-5 .
↑ Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E.Metoder för matematisk finansiering (obestämd) . - 1998. - T. 39 . - ISBN 978-0-387-94839-3 . - doi : 10.1007/b98840 .