Ortogonal matris

En ortogonal matris är en kvadratisk matris med reella element, vars resultat av multiplikation med den transponerade matrisen är lika med identitetsmatrisen [1] : $A$ $A^{T}$

AA^{{T}}=A^{{T}}A=E,

eller, ekvivalent, dess inversa matris (som nödvändigtvis existerar) är lika med den transponerade matrisen:

A^{-1}=A^{T}.

Den komplexa analogen av en ortogonal matris är den enhetliga matrisen .

En ortogonal matris med en determinant kallas speciell ortogonal . $+1$

Egenskaper

En ortogonal matris är enhetlig ( ) och därmed normal ( ). $Q^{-1}=Q^{*}$ $Q^{*}Q=QQ^{*}$
Kolumnerna och raderna i en ortogonal matris bildar system av ortonormala vektorer , det vill säga:

{\displaystyle \sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk))

och

{\displaystyle \sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk))

där , är ordningen på matrisen och är Kronecker-symbolen .

i\i \{1,\;\ldots ,\;n\}

n

\delta _{{jk}}

Med andra ord är prickprodukten av en rad med sig själv 1, och med vilken annan rad som helst är 0. Detsamma gäller för kolumner.

Determinanten för en ortogonal matris är , vilket följer av egenskaperna hos determinanterna: $\pm 1$ $1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det (A)^{2}=1.$
Mängden ortogonala ordningsmatriser över fältet bildar en multiplikationsgrupp , den så kallade ortogonala gruppen som betecknas med eller (om den utelämnas antas den vara ). $n$ $k$ $O_{n}(k)$ $O(n,\;k)$ $k$ $k=\mathbb{R}$
Den linjära operatorn , given av en ortogonal matris, mappar en ortonormal bas av ett linjärt utrymme till ett ortonormalt.
Rotationsmatrisen är speciell ortogonal . Reflexionsmatrisen är ortogonal.
Vilken verklig ortogonal matris som helst liknar en blockdiagonal matris med block av formen

(\pm1)

och

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$ - ett exempel på en rotationsmatris

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ - ett exempel på en permutationsmatris

${\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin (\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )- \sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{ pmatrix}}$ är rotationsmatrisen uttryckt i termer av Euler-vinklarna

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Linjär algebra. - 4:e uppl. - M: Nauka, 1999. - s. 158. - ISBN 5-02-015235-8 .