Perfekt kubform

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 augusti 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

En perfekt kuboid [1] är en rektangulär parallellepiped , i vilken alla sju grundläggande kvantiteter (tre kanter, diagonalerna på dess ytor och diagonalen på själva parallellepipeden) är naturliga tal. Med andra ord, en perfekt kuboid är en lösning på systemet med följande diofantiska ekvationer i naturliga tal:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b ^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}

Det är fortfarande okänt om en sådan parallellepiped existerar. Datoruppräkning fann inte någon perfekt kuboid med kanter upp till 3·10 12 [2] [1] . Men flera "nästan perfekta" parallellepipeder har hittats, där alla kvantiteter är heltal, förutom en:

$(672,153,104)$ en av diagonalerna i ansiktet är icke-heltal.
$(18\,720,{\sqrt {211\,773\,121)),7800)$ , — en av kanterna är icke-heltal. $(520,576,{\sqrt {618\,849)))$
Ett stort antal Euler-parallellepipeder (med en rumsdiagonal som inte är heltal, se nedan ).
Sned parallellepipeder, där alla linjära dimensioner är heltal. I detta fall räcker det med en icke-rät vinkel [3] [4] [5] .

Sedan september 2017 har sökandet efter den perfekta kuben startats av det distribuerade datorprojektet yoyo@home [6]

Euler box

En rektangulär parallellepiped där endast kanterna och diagonalerna på ytorna är heltal kallas Euler. Den minsta av Euler-parallellepipederna - (240, 117, 44), med diagonalerna 267, 244 och 125, hittades av Paul Halke 1719 [1] . Några fler Euler-parallellepipeder:

(275, 252, 240)
(693, 480, 140),
(720, 132, 85),
(792, 231, 160).

Euler beskrev två familjer av Euler parallellepipeds (därav namnet) som ges av formler som liknar de för Pythagoras trippel . Dessa familjer inkluderar inte alla Euler-parallellepipeder. Det är känt att det bland dem inte kan finnas en perfekt kuboid [1] . Det finns ingen fullständig beskrivning av alla Euler-parallellepipederna.

En av familjerna som erhållits av Euler ges av formlerna för : $n>3$

a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n

Följande krav är kända för Euler parallellepiped (och därmed för den perfekta kuboiden) [7] :

En kant är delbar med 4, den andra är delbar med 16, den tredje är udda (såvida den inte är primitiv, det vill säga gcd ( a ,  b ,  c ) = 1).
En kant är delbar med 3 och en annan med 9.
En kant är delbar med 5.
En kant är delbar med 11.

Det finns ett "icke-formel" sätt att erhålla värdena på sidorna av den "härledda" Euler-rutan baserat på värdena för den "förälder" Euler-rutan (8). För att göra detta väljs tre trianglar med heltalsvärden på sidorna i figuren. Vidare - från de erhållna trianglarna genom att välja värdet på deras kotangens - bestäms Pythagoras trippel. Dessa trippel är inskrivna i tabellen. Genom att ta emot ett korsarrangemang i tabellen med två värden (av tre) av Pythagoras trippel (med en viss algoritm för matematiska operationer), beräknas värdena för de tre sidorna av den "härledda" Euler-parallellepipeden.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Ian Stewart . De största matematiska problemen. - M . : Alpina facklitteratur, 2016. - S. 407. - 460 sid. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
↑ Bill Butler, "heltalsbrickan"-problemet arkiverat 30 augusti 2007 på Wayback Machine
↑ JF Sawyer, CA Reiter, Perfekt parallellepiped finns Arkiverad 6 juli 2015 på Wayback Machine , Math. Comp. 80 (2011), nr. 274, sid. 1037-1040.
↑ BD Sokolowsky, AG VanHooft, RM Volkert, CA Reiter, En oändlig familj av perfekta parallellepipeder Arkiverad 6 juli 2015 på Wayback Machine , Math. Comp. 83 (2014), nr. 289, sid. 2441-2454.
↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids , arXiv:1506.02215v2 Arkiverad 23 januari 2018 på Wayback Machine [math.NT] 27 juni 2015.
↑ yoyo@home . Hämtad 22 januari 2018. Arkiverad från originalet 22 januari 2018. (obestämd)
↑ Primitive Euler Bricks Arkiverade 24 februari 2020 på Wayback Machine .