Parallella plan

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 juli 2018; kontroller kräver 3 redigeringar .

Definition

Klassisk

Två plan kallas parallella om de inte har några gemensamma punkter. (Ibland anses också sammanfallande plan vara parallella, vilket förenklar formuleringen av vissa satser).

Analytisk

Om planen och är parallella, då är normalvektorerna och kolinjära (och vice versa). Därför villkoret $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ $N_{1}(A_{1},B_{1},C_{1})$ $N_{2}(A_{2},B_{2},C_{2})$

${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1 }}}$ [1] är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för parallellitet eller sammanfallande av plan.

Egenskaper

Om två parallella plan skärs av ett tredje, så är linjerna i deras skärningspunkt parallella;
Genom en punkt utanför ett givet plan är det möjligt att rita ett plan parallellt med det givna, och dessutom endast ett;
Segment av parallella linjer som begränsas av två parallella plan är lika;
Två vinklar med respektive parallella respektive lika riktade sidor är lika och ligger i parallella plan.

Funktion

Om planet α är parallellt med var och en av två skärande linjer som ligger i det andra planet β, då är dessa plan parallella.

Exempel

Planen och är parallella eftersom . $2x-3y-4z+11=0$ $-4x+6y+8z+36=0$ ${\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}$
Planen och är inte parallella, eftersom , och . $2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)$ $4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)$ $B_{1}=0$ $B_{2}\neq 0$

Notera

Om inte bara koefficienterna vid koordinaterna, utan även de fria termerna är proportionella, det vill säga om [2] så sammanfaller planen. Så ekvationerna representerar samma plan. ${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}} ={\frac {D_{2}}{D_{1}}},$ $3x+7y+5z+4=0$ $6x+14y+10z+8=0$

Anteckningar

↑ kl . Om , då . Likadant för eller . $A_{1},B_{1},C_{1}\neq 0$ $A_{1}=0$ $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ $B_{1}=0$ $C_{1}=0$
↑ kl . Om , då . Likadant för eller . $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}\neq 0$ $A_{1}=0$ $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}} {D_{1}}}$ $B_{1}=0,C_{1}=0$ $D_{1}=0$