Primitiv rot till enhet

En primitiv rot (eller primitiv rot ) av enhet i ett fält är ett element som för alla naturliga . $m$ $K$ $\xi \in K$ $\xi ^{m}=1$ $\xi ^{\ell }\not =1$ $\ell <m$

Om är fältet av komplexa tal , då den primitiva rotens krafter bildar en cyklisk grupp av ordningsrötter från enhet. $K$ $\xi$ $m$

Egenskaper

Om det finns en primitiv rot av graden i fältet , så är det coprime med egenskapen för fältet . $K$ $m$ $m$ $K$
Ett algebraiskt slutet fält innehåller en primitiv rot av vilken grad som helst coprime med egenskapen för fältet.
Om är en primitiv rot av grad , då för varje relativt prime c , är elementet också en primitiv rot. Därav, i synnerhet, följer att antalet av alla primitiva rötter av graden (när de finns) är lika med värdet av Euler-funktionen . $\xi$ $m$ $\aln$ $m$ ${\displaystyle \xi ^{\ell ))$ $m$ $\varphi(m)$
Inom området komplexa tal har primitiva rötter av grad m formen: $e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell }{m))+i\sin {\frac {2\pi \ell }{m }}$ , var är coprime med . $\aln$ $m$

I ett ändligt fält , där q är en potens av ett primtal , är den primitiva roten av graden en generator av den (cykliska) multiplikativa gruppen av detta fält och kallas ett primitivt element . $\mathbb {F} _{q}$ $q-1$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. Definitioner, satser, formler . - St Petersburg. : Lan, 2004. - 624 sid. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
Milne, James S. Algebraisk talteori . Kursanteckningar (2014). Hämtad 1 oktober 2014. Arkiverad från originalet 17 december 2014. (obestämd)