Blandning (dynamiska system)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 augusti 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

I teorin om dynamiska system är blandning egenskapen hos ett system att "glömma" information om det initiala tillståndet över tid. Mer exakt skiljer man mellan topologisk och metrisk blandning. Den första hänvisar till teorin om kontinuerliga system och säger i grova drag att oavsett hur exakt startpositionen för en punkt är känd, blir dess möjliga placering med tiden mer och mer tät. Den andra hänvisar till teorin om mätbara system - system som bevarar något mått - och anger att fördelningen av en absolut kontinuerlig med avseende på måttet (till exempel restriktioner för en given delmängd av initiala villkor) tenderar till måttet självt under iterationer . $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu$

Låta vara en attraktion av ett kaotiskt system på vilket systemutvecklingsoperatören och ett invariant mått ges . Vi segmenterar atttraktorn i 2 regioner, och förhållandet mellan måttet på punkter från regionen som, genom iterationer av evolutionsoperatorn , föll in i regionen kan skrivas på följande sätt: $G$ $S(G)$ $\mu$ $B$ $W.$ $B$ $n$ $S$ $W,$

$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W))).$

Evolutionsoperatorn är en blandning om vid , värdet inte beror på valet av regionen och bestäms av relationen vid . Denna formel, ur en fysisk synvinkel, beskriver suddigheten av alla områden med initiala förhållanden över alla attraktioner . I gränsen, , är måttet på bilderna av uppsättningens punkter i uppsättningen lika med måttet på uppsättningen på atttraktorn för godtyckliga uppsättningar och [1] $S$ $n\högerpil \infty$ $D_{n}$ $W,$ ${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)))\högerpil {\frac {\mu (B)}{\mu (G)} }$ $n\högerpil \infty$ $B$ $G$ $n\högerpil \infty$ $B$ $W$ $B$ $G$ $B$ $W.$

Definitioner

Topologisk blandning

Per definition sägs ett (kontinuerligt) dynamiskt system vara topologiskt blandade om, för två icke-tomma öppna uppsättningar , $f:X\till X$ $A,B\subset X$

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,

eller, vilket är detsamma,

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,

I synnerhet betyder detta att för varje given och icke-tom öppen uppsättning visar sig alla iterationer med ett tillräckligt stort antal vara täta i fasutrymmet. $\varepsilon >0$ $A$ $A$ $\varepsilon$

Topologisk blandning är en starkare egenskap än transitivitet . Således är en irrationell rotation av en cirkel transitiv, men blandas inte.

Metrisk blandning

Per definition sägs en måttbevarande mätbar mappning vara metriskt blandad om det gäller två mätbara uppsättningar , $f:(X,{\mathcal {A)],\mu )\to (X,{\mathcal {A)),\mu )$ $A,B\in {\mathcal {A}}$

\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .

När det gäller integrerbara funktioner motsvarar detta att säga att för vilka två funktioner som helst , $\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$

\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \ cdot \int _{X}\psi \,d\mu .

En åtgärds ergodicitet är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för metrisk blandning. Således bevarar en irrationell rotation av en cirkel dess ergodiska Lebesgue-mått , men är inte metriskt blandad. $\mu$

Se även

Transitivitet (dynamiska system)
Spektralteori för dynamiska system

Anteckningar

↑ M.Yu.Logunov, O.Ya.Butkovsky. Blandning och Lyapunov exponenter av kaotiska system.

Litteratur

Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V., Ergodisk teori.
Sinai Ya. G., Modern problems of ergodic theory, Moskva: FizMatLit, 1995, sid. 24.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system / övers. från engelska. A. Kononenko med deltagande av S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 sid. — ISBN 5-88688-042-9 .