Full trunkering (geometri)

I euklidisk geometri är uträtning eller full trunkering processen att trunkera en polyeder genom att markera mitten av alla dess kanter och skära av alla hörn upp till dessa punkter [1] . Den resulterande polyedern kommer att begränsas av fasetter (fasetter med dimension n-1, i tredimensionellt utrymme är dessa polygoner) av vertexformer och trunkerade fasetter av den ursprungliga polyedern. Rätningsoperationen ges enbokstavssymbolen r . Så till exempel är r {4,3} en rätad kub, dvs. kuboktaeder.

Conway använder notationen ambo för denna operation . I grafteorin skapar denna operation en mittengraf .

Ett exempel på uträtning som det sista stadiet av kantavkortning

Full trunkering är det sista steget i trunkeringsprocessen. Figuren visar de fyra stegen i en kontinuerlig trunkeringsprocess från en vanlig kub till ett helt trunkerat tillstånd:

Högre grader av fullständig trunkering

Högre grader av total trunkering kan implementeras på vanliga polyedrar med högre dimensioner. Den högsta graden av fullständig trunkering skapar en dubbel polyeder . Rätning avkortar kanter till punkter. Dubbel uträtning avkortas (2D) vänder mot punkter. I högre dimensioner trunkerar trippel rättelse celler (3D-ytor) till punkter och så vidare.

Ett exempel på dubbel uträtning som slutskedet av ansiktstynkning

Sekvensen i figuren visar den dubbla trunkeringen av kuben som det sista steget i processen från kuben till den dubbla oktaedern, där den ursprungliga ytan är trunkerad till en punkt:

För polygoner

Den dubbla polygonen är densamma som dess helt trunkerade form. De nya hörnen är placerade i mitten av sidorna av den ursprungliga polygonen.

För polyedrar och plana plattor

Varje vanlig polytop och dess dubbla har samma helt trunkerade polytop. (Detta gäller inte för polytoper i utrymmen med dimension 4 eller mer.)

En helt trunkerad polytop kan erhållas som skärningspunkten mellan den ursprungliga vanliga polytopen med en lämpligt skalad koncentrisk version av dualen. Av denna anledning är deras namn konstruerade som kombinationer av namnet på den ursprungliga polyedern och dess dubbla:

Den helt trunkerade tetraedern , vars dubbla är tetraedern, kallas tetratetraedern , mer känd som oktaedern .
Den helt avkortade oktaedern , vars dual är kuben , kallas kuboktaedern .
Den helt avkortade ikosaedern , vars dual är dodekaedern , kallas ikosidodekaedern .
En helt stympad fyrkantig parkett är en fyrkantig parkett .
En helt stympad trekantig parkett , vars dubbla är en sexkantig parkett , kallas tresexkantig parkett .

Exempel

Familj	Förälder	fullständig trunkering	Dubbel
[p,q]
[3,3]	Tetraeder	Oktaeder	Tetraeder
[4,3]	Kub	Cuboctahedron	Oktaeder
[5,3]	Dodekaeder	icosidodecahedron	icosahedron
[6,3]	Hexagonal mosaik	Tresexkantig mosaik	trekantig mosaik
[7,3]	Heptagonal plattsättning av tredje ordningen	Trisemigonal mosaik	Triangulär plattsättning av sjunde ordningen
[4,4]	fyrkantig mosaik	fyrkantig mosaik	fyrkantig mosaik
[5,4]	Fjärde ordningens femkantiga kakel	Fyrkantig femkantig mosaik	Fyrkantig plattsättning av femte ordningen

För oregelbundna polyedrar

Om polyedern inte är regelbunden, kanske mittpunkterna på kanterna som omger vertexet inte ligger i samma plan. Men någon form av fullständig trunkering förblir möjlig även i detta fall - vilken polytop som helst har en polyedrisk graf , som ett 1-skelett (polytop), och från denna graf kan man bilda en mittengraf genom att placera hörn i mitten av kanterna på den ursprungliga grafen och ansluta två nya hörnkanter om de hör till på varandra följande kanter längs en gemensam yta. Den resulterande mittengrafen förblir polyedrisk, så med Steinitz sats kan den representeras som en polyeder.

Conway-notationens ekvivalent för full trunkering är ambo , betecknad med a . Applicering två gånger aa , (riktning efter rättelse) är Conway expansionsoperation , e , vilket är samma operation som Johnson avfasningsoperation t 0,2 för vanliga polytoper och plattsättningar.

För 4-dimensionella polyedrar och 3-dimensionella tessellationer

Varje konvex regelbunden 4-polytop har en fullständig trunkeringsform, som en enhetlig 4-polytop .

En vanlig 4-dimensionell polytop {p,q,r} har celler {p,q}. Att trunkera det helt kommer att ge två typer av celler - helt trunkerade {p,q}-polyedrar kvar från de ursprungliga cellerna, och {q,r}-polyedrar som nya celler som bildas på platserna för de trunkerade hörnen.

Trunkeringen av {p,q,r} är dock inte densamma som trunkeringen av {r,q,p}. En ytterligare trunkering, kallad dubbel total trunkering , är symmetrisk med avseende på 4-polytopen och dess dual. Se Uniform 4-polytope .

Exempel

Familj	Förälder	fullständig trunkering	Dubbel full trunkering (dubbel trunkering)	Trippel full trunkering (dubbel)
[p,q,r]
[3,3,3]	Femceller	Helt trunkerad femcell	Helt trunkerad femcell	Femceller
[4,3,3]	tesserakt	Helt trunkerad tesseract	Helt trunkerad sexton -celler ( tjugofyra-celler )	Hexadecimal cell
[3,4,3]	tjugofyra celler	Helt trunkerad 24-celler	Helt trunkerad 24-celler	tjugofyra celler
[5,3,3]	120 celler	Helt trunkerad 120-celler	Helt trunkerad 600-celler	Sexhundra celler
[4,3,4]	kubisk honungskaka	Helt stympad kubisk honeycomb	Helt stympad kubisk honeycomb	kubisk honungskaka
[5,3,4]	Dodekaedriska honungskakor av fjärde ordningen	Helt trunkerad 4:e ordningens dodekaedrisk honungskaka	Helt avkortad kubisk honeycomb av femte ordningen	Kubiska honungskakor av 5:e ordningen

Grader av uträtning

Den första fullständiga trunkeringen trunkerar kanterna till punkter. Om polyedern är regelbunden representeras denna form av den utökade Schläfli-symbolen t 1 {p,q,...} eller r {p,q,...}.

Den andra fullständiga trunkeringen, eller dubbel uträtning , trunkerar ytorna till punkter. Om polyedern är regelbunden, betecknas den dubbla trunkeringen med t 2 {p,q,...} eller 2 r {p,q,...}. För 3-dimensionella polytoper ger dubbel full trunkering den dubbla polytopen .

Högre grader av fullständig trunkering kan konstrueras för polyedrar i utrymmen av dimension 4 och högre. I allmänhet klipper den fullständiga trunkeringsnivån n n-dimensionella ytor till punkter.

Om en polyeder i ett n-dimensionellt utrymme är fullständigt trunkerat till graden (n-1), trunkeras dess fasetter (fasetter av dimension n-1) till en punkt och den blir dubbel med den ursprungliga.

Notation och fasetter

Det finns tre olika ekvivalenta notationer för varje grad av fullständig trunkering. Tabellerna nedan visar namnen efter dimension och två aspekttyper för varje.

Regelbundna polygoner

Fasetter är kanter representerade som {2}.

namn {p}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Vertikal Schläfli-symbol
namn {p}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	namn	Fasett-1	Fasett-2
Förälder		t 0 {p}	{p}	{2}
Helt stympad		t 1 {p}	{p}		{2}

Vanliga 3-dimensionella enhetliga polytoper och plattsättningar

Fasetter är vanliga polygoner.

Titel {p,q}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Vertikal Schläfli-symbol
Titel {p,q}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	namn	Fasett-1	Fasett-2
Förälder		t 0 {p,q}	{p,q}	{p}
Helt stympad		t 1 {p,q}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix))$ = r{p,q}	{p}	{q}
dubbel trunkerad		t 2 {p,q}	{q,p}		{q}

Vanliga enhetliga 4-dimensionella polytoper och honeycombs

Fasetter är regelbundna eller helt trunkerade polyedrar.

namn {p,q,r}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Utökad Schläfli-symbol
namn {p,q,r}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	namn	Fasett-1	Fasett -2
Förälder		t 0 {p, q, r}	{p,q,r}	{p,q}
Rättad till		t 1 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ = r{p,q}	{q,r}
Dubbel helt trunkerad (helt trunkerad dubbel)		t 2 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix))$ = r{q,r}
Trix helt trunkerad (dubbel)		t 3 {p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Vanliga polytoper i 5-dimensionell rymd och 4-dimensionella bikakor

Fasetter är regelbundna eller helt trunkerade fyrdimensionella polyedrar.

Titel {p,q,r,s}	Coxeter diagram	t-post av Schläfli-symbolen	Utökad Schläfli-symbol
Titel {p,q,r,s}	Coxeter diagram	t-post av Schläfli-symbolen	namn	Fasett-1	Fasett -2
Förälder		t 0 {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Helt stympad		t 1 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Dubbel helt trunkerad (Två gånger helt trunkerad dubbel)		t 2 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix))$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix))$ = r{q,r,s}
Trippel trunkerad (helt trunkerad dubbel)		t 3 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q}
Fyrdubbel helt trunkerad (dubbel)		t 4 {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

Se även

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Rectification på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

HSM Coxeter . Vanliga polytoper . — 3:e upplagan. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (s.145-154 Kapitel 8: Trunkering)
NW Johnson . Uniforma polytoper. - Manuskript, 1991.
- NW Johnson . Teorin om enhetliga polytoper och honungskakor. — University of Toronto: Ph.D. avhandling, 1966.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (kapitel 26)

Länkar

George Olszewski Rättning i ordlista för hyperrymden.

Operationer på polyedrar

Grunden	avkortning	fullständig trunkering	Djup trunkering	Dualitet _	stretching	Trunkering	Alternation


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}