Nästan platt grenrör

Ett nästan platt grenrör är ett jämnt kompakt grenrör M så att det för någon på M finns en Riemannisk metrisk sådan att och är -platt, det vill säga dess tvärsnittskurvaturer vid varje punkt uppfyller olikheten $\varepsilon >0$ ${\displaystyle g_{\varepsilon ))$ ${\mbox{diam}}(M,g_{\varepsilon })\leqslant 1$ ${\displaystyle g_{\varepsilon ))$ $\varepsilon$ $K_{g_{\varepsilon }}$

|K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon .

Exempel

Varje kompakt grenrör som tillåter en platt metrisk är nästan platt. I synnerhet är nästan platta grenrör
- $n$ -dimensionell torus
- Klein flaska
Ett exempel på ett icke-platt, men nästan platt, grenrör är utrymmet för en icke-trivial fibration med en fiber, en cirkel över en torus. Detta utrymme kan erhållas som en faktor för Heisenberg-gruppen genom dess integrerade undergrupp och dess ändliga omslag.

Egenskaper

För vilket n som helst finns det ett positivt tal så att om ett n - dimensionellt grenrör tillåter -platta mått med diameter , så är det nästan platt. $\varepsilon _{n}>0$ $\varepsilon_{n}$ $\leqslant 1$
Ett nästan platt grenrör som ett grenrör som kollapsar till en punkt med inspänd krökning: M är nästan platt om det för någon på M finns en riemannisk metrisk , sådan att diametern på grenröret är mindre än , och har avgränsad sektionskrökning, säg, vid varje punkt tillfredsställa ojämlikheten . $\varepsilon >0$ $g_\varepsilon$ $\varepsilon$ $g_\varepsilon$ $|K_{g_{\epsilon }}|<1$
Enligt Gromov-Ruch- satsen är ett grenrör M nästan platt om och bara om det är ett infranilt grenrör . I synnerhet är det en ändlig faktor för nilvarietyen . Det senare kan definieras induktivt som utrymmet för ett huvudknippe med fibercirkel över ett nilmanifold.

Litteratur

Gromov, M. (1978), Almost flat manifolds , Journal of Differential Geometry vol. 13 (2): 231–241 , < http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214434488 > .
Ruh, Ernst A. (1982), Almost flat manifolds , Journal of Differential Geometry vol 17 (1): 1–14 , < http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214436698 > .