Box-Muller transformation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 januari 2018; kontroller kräver 3 redigeringar .

Box-Muller-transformationen är en metod för att modellera standard normalfördelade slumpvariabler . Har två alternativ. Metoden är exakt, till skillnad från till exempel metoder baserade på central limit theorem .

Metoden publicerades 1958 av George Box och Mervyn Muller.

Första alternativet

Låta och vara oberoende stokastiska variabler likformigt fördelade över intervallet . Beräkna och formler $r$ $\varphi\$ $(0,\;1]$ $z_{0}$ $z_{1}$

z_{0}=\cos(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r)),

z_{1}=\sin(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}}.

Då och kommer att vara oberoende och normalfördelad med matematisk förväntan 0 och varians 1. När det implementeras på en dator går det oftast snabbare att inte beräkna båda trigonometriska funktionerna - och - utan att beräkna en av dem genom den andra [bevis?]. Det är ännu bättre att använda den andra versionen av Box-Muller-transformationen istället. $z_{0}$ $z_{1}$ $\cos(\cdot )$ $\sin(\cdot )$

Andra alternativet

Låta och vara oberoende stokastiska variabler likformigt fördelade på intervallet . Låt oss räkna ut . Om det visar sig att eller , bör värdena för och "slängas" och regenereras. Så snart villkoret är uppfyllt , enligt formlerna $x$ $y$ $[-1,\;1]$ ${s=x^{2}+y^{2}}$ ${s>1}$ ${s=0}$ $x$ $y$ ${0<s\leqslant 1}$

z_{0}=x\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

och

z_{1}=y\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

man bör beräkna och , som, som i det första fallet, kommer att vara oberoende kvantiteter som uppfyller standardnormalfördelningen. $z_{0}$ $z_{1}$

Användningskoefficienten för grundläggande stokastiska variabler för den första varianten är uppenbarligen lika med en. För det andra alternativet är detta förhållandet mellan arean av en cirkel med enhetsradie och arean av en kvadrat med en sida av två, det vill säga . Men i praktiken är den andra varianten vanligtvis snabbare på grund av att den bara använder en transcendental funktion , . Denna fördel för de flesta implementeringar uppväger behovet av att generera mer enhetligt fördelade slumpvariabler. $\pi /4\approx 0{,}785$ $\ln(\cdot )$

Övergång till den allmänna normalfördelningen

Efter att ha erhållit en normal normal slumpvariabel kan man enkelt byta till en normalfördelad slumpvariabel med matematisk förväntan och standardavvikelse med hjälp av formeln $z$ $\xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma$

\xi =\mu +\sigma z.

Detta är inte längre en del av Box-Muller-transformationen, men tillåter genereringen av en normal slumpvariabel att slutföras.

Se även

Ziggurat-algoritm

Länkar

Omvandling av en enhetligt fördelad slumpvariabel till en normalfördelad slumpvariabel Arkiverad 26 augusti 2014 på Wayback Machine