Dirichlet-principen (matematisk fysik)

Inom matematisk fysik hänvisar Dirichlet-principen till potentialteori och är formulerad enligt följande: om funktionen u ( x ) är en lösning på Poissons ekvation :

\Delta u+f=0

i en domän med ett gränsvillkor vid gränsen , då kan du hittas som en lösning på variationsproblemet : hitta minimum $\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}$ $u=g$ $\Omega$

E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm { d}x

bland alla två gånger differentierbara funktioner så att på gränsen . $v$ $v=g$ $\Omega$

Detta uttalande formulerades (men inte bevisats) av den tyske matematikern Dirichlet . Karl Weierstrass visade att Dirichlets princip är fel i vissa situationer; senare specificerades villkoren för dess tillämpning av Bernhard Riemann , Henri Poincaré , David Hilbert och andra matematiker.

Litteratur

Berdichevsky VL Variationsprinciper för kontinuummekanik. — M.: Nauka, 2005, ISBN 978-5-9221-0576-7 .
Mikhlin SG Varierande metoder för att lösa problem inom matematisk fysik . UMN 5:6(40) (1950), 3-51.
Petrova S.S. Om Dirichlet-principen // Naturvetenskapernas historia och metodik. - M. : MGU, 1966. - Nummer. 5 . - S. 200-218 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Dirichlets princip (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .