Gromovs arbete

Gromov-produkten är det avstånd på vilket två geodesiker som börjar vid en punkt börjar divergera avsevärt.

Uppkallad efter Gromov .

Gromov-produkten används i synnerhet för att definiera ett mått på den absoluta gränsen för ett metriskt utrymme.

Definition

Låt baspunkten för det metriska utrymmet vara fixerad . Sedan är Gromov-produkten (med avseende på punkten ) av poäng och detta mellanslag värdet $x\i X$ $(X,d)$ $x$ $y$ $z$

(y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).

Egenskaper

Gromov-produkten är icke-negativ och symmetrisk: $\forall x,y,z\in X\quad (y,z)_{x}=(z,y)_{x},\quad (y,z)_{x}\geq 0.$
För trädfallet är längden på den matchande delen av de geodetiska banorna och . ${\displaystyle (y,z)_{x))$ $[xy]$ $[xz]$
För -hyperboliska utrymmen gäller ojämlikheten. $\delta$ $(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

Litteratur

E. Gies, P. De la Arp. Hyperboliska grupper enligt Mikhail Gromov. — M .: Mir, 1992.