Laplaces sats

Laplaces sats är en av satserna i linjär algebra . Den är uppkallad efter den franske matematikern Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), som är krediterad för att ha formulerat denna sats 1772 [1] , även om ett specialfall av denna sats om expansionen av determinanten i en rad (kolumn) var känd även för Leibniz .

Formulering

Låt oss först introducera några definitioner.

Låt vara en matris av storlek och låt valfria rader i matrisen med siffror och alla kolumner med siffror väljas . $A=(a_{{ij}})$ $n\ gånger n$ $k$ $A$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k))$ $k$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k))$

Determinanten för matrisen som erhålls från att radera alla rader och kolumner, förutom de valda, kallas minor av -th ordningen, placerad i rader med siffror och kolumner med siffror . Det betecknas enligt följande: $A$ $k$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k))$ ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k))$

M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{ 1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_ {1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

Och bestämningsfaktorn för matrisen som erhålls genom att bara ta bort de markerade raderna och kolumnerna från den kvadratiska matrisen kallas extra minor till minor : $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin {pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_ {n}}\end{pmatrix}},

var och är antalet omarkerade rader och kolumner. ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n))$ ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n))$

Det algebraiska komplementet till ett biämne definieras enligt följande: $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M} }_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}

var , . ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k))$ ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k))$

Följande påstående är sant.

Laplaces sats

Låt valfria rader i matrisen väljas . Då är matrisens determinant lika med summan av alla möjliga produkter av den e ordningens mindreåriga som finns i dessa rader och deras algebraiska komplement.

k

A

A

k

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_ {k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},

där summeringen görs över alla möjliga kolumnnummer

j_{1},\ldots ,j_{k}.

Antalet minderåriga över vilka summan tas i Laplaces sats är lika med antalet sätt att välja kolumner från , det vill säga binomialkoefficienten . $k$ $n$ ${\displaystyle \textstyle {n \choose k))$

Eftersom raderna och kolumnerna i en matris är ekvivalenta med avseende på egenskaperna hos determinanten, kan Laplaces sats också formuleras för kolumnerna i en matris.

Exempel

Tänk på en kvadratisk matris

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix)).

Vi väljer den andra och fjärde raden och utökar determinanten för denna matris med hjälp av Laplaces teorem. Observera att i dessa rader innehåller alla andra ordningens mindreåriga, förutom , noll kolumner, dvs. är kända för att vara noll och påverkar inte summan i satsen. Så determinanten blir: ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\ 1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

Av exemplet ovan kan man se att Laplaces sats förenklar beräkningen av bestämningsfaktorerna för inte alla matriser, utan endast matriser av en speciell form. Därför används i praktiken andra metoder oftare, till exempel den Gaussiska metoden . Teoremet är mer applicerat på teoretiska studier.

Rad (kolumn) expansion av determinant (Korollary 1)

Ett specialfall av Laplaces teorem är allmänt känt - expansionen av determinanten i en rad eller kolumn. Det låter dig representera determinanten för en kvadratisk matris som summan av produkterna av elementen i någon av dess rader eller kolumner och deras algebraiska komplement .

Låta vara en kvadratisk matris av storlek . Låt också något radnummer eller kolumnnummer i matrisen anges . Sedan kan determinanten beräknas med följande formler: $A=(a_{ij})$ $n\ gånger n$ $i$ $j$ $A$ $A$

Nedbrytning på den -e raden $i$ :

{\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

Nedbrytning av kolumnen $j$ :

{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

var är det algebraiska komplementet till moll som finns i raden med numret och kolumnen med numret . även kallat algebraiskt elementkomplement . $A_{{ij}}$ $i$ $j$ $A_{{ij}}$ $a_{{ij}}$

Påståendet är ett specialfall av Laplaces teorem. Det räcker att ställa in det lika med 1 och välja den -th raden, då kommer de minderåriga som finns i den här raden att vara själva elementen. $k$ $i$

Exempel

Tänk på en kvadratisk matris

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Låt oss utöka determinanten med elementen i den första raden i matrisen:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.

(Observera att det algebraiska komplementet till det andra elementet i den första raden har ett negativt tecken.)

Determinanten kan också utökas, till exempel med elementen i den andra kolumnen:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\ cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

Följd 2 (falsk expansion av determinanten)

Summan av produkterna av alla element i någon rad (kolumn) i matrisen och de algebraiska komplementen av motsvarande element i någon annan rad (kolumn) är lika med noll. $A$

Bevis

Betrakta summan av produkterna av alla element i en godtycklig -th rad av matrisen och de algebraiska komplementen av motsvarande element av någon annan, säg -th rad av matrisen . Låta vara en matris där alla rader, förutom den -th raden, är samma som de i matrisen , och elementen i den -th raden av matrisen är motsvarande element i den -th raden av matrisen . Då har matrisen två identiska rader och därför har vi, genom egenskapen hos matrisen om identiska rader, att . Å andra sidan, enligt konsekvens 1, är determinanten lika med summan av produkterna av alla element i matrisens i:te rad och deras algebraiska komplement. Observera att de algebraiska komplementen av elementen i matrisens -th rad sammanfaller med de algebraiska komplementen av motsvarande element i matrisens -th rad . Men elementen i matrisens -th rad är motsvarande element i matrisens -th rad . Således är summan av produkterna av alla element i matrisens -th rad och deras algebraiska komplement, å ena sidan, lika med noll, och å andra sidan är den lika med summan av produkterna av alla element i matrisens -th rad och de algebraiska komplementen av motsvarande element i matrisens -th rad . $k$ $A$ $i$ $A$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $A'$ $\det A'=0$ $\det A'$ $i$ $A'$ $i$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A$

Anteckningar

↑ Smith, DE Projektera Gutenbergs historia av modern matematik . — S. 18. Arkiverad 16 september 2009 på Wayback Machine

Litteratur

Ilyin, V. A. , Poznyak, E. G. Linear Algebra . - 6:e uppl. - M . : Fizmatlit, 2005. - S. 25 -27. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Prasolov, VV Problem och satser för linjär algebra . - 2:a uppl. - M. , 2008. - S. 42-45.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. — M .: Fizmatlit , 2009. — S. 374-376.