Riemannska grenrör

Ett Riemanniskt grenrör , eller Riemannskt utrymme ( M , g ), är ett ( riktigt ) jämnt grenrör M där varje tangentrum är försett med en inre produkt g , en metrisk tensor som ändras smidigt från punkt till punkt. Med andra ord är ett Riemann-grenrör ett differentierbart grenrör där tangentutrymmet vid varje punkt är ett ändligt dimensionellt euklidiskt utrymme .

Detta tillåter att olika geometriska begrepp definieras på Riemannska grenrör, såsom vinklar , kurvlängder , områden (eller volymer ) , krökning , funktionsgradient och vektorfältsdivergenser .

Det Riemannska metriska g är en positiv-definitiv symmetrisk tensor - den metriska tensorn ; mer exakt är det ett jämnt kovariant symmetriskt positivt bestämt tensorvalensfält (0,2).

Blanda inte ihop Riemanns grenrör med Riemann ytor - grenrör som lokalt ser ut som att limma komplexa plan .

Termen är uppkallad efter den tyske matematikern Bernhard Riemann .

Översikt

Tangentbunten i ett jämnt grenrör M tilldelar varje punkt i M ett vektorrum som kallas tangentrymden , och på detta tangentutrymme kan man introducera en inre produkt. Om en sådan uppsättning införda skalära produkter på tangentbunten av ett grenrör ändras smidigt från punkt till punkt, kan man med hjälp av sådana produkter införa metricitet på hela grenröret. Till exempel, en jämn kurva α( t ): [0, 1] → M har en tangentvektor α′( t 0 ) i tangentrymden TM ( t 0 ) vid vilken punkt som helst t 0 ∈ (0, 1), och varje sådan vektor har längden ‖α′( t 0 )‖, där ‖·‖ betecknar normen inducerad av den inre produkten på TM ( t 0 ) . Integralen över dessa längder ger längden på hela kurvan α:

L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.

Jämnheten av α( t ) för t i [0, 1] garanterar att integralen L (α) existerar och att kurvans längd är definierad.

I många fall, för att gå från ett linjärt-algebraiskt koncept till ett differentialgeometriskt, är jämnheten mycket viktig.

Varje slät delrör av Rn har ett inducerat metriskt g : den inre produkten på varje tangentrum är bara den inre produkten på Rn . Det omvända gäller också: Nash reguljära inbäddningsteoremet säger att varje tillräckligt jämnt Riemann-grenrör kan realiseras som ett undergrenrör med en inducerad metrik i R n av tillräckligt stor dimension n .

Mätning av längder och vinklar med hjälp av metriska

På ett Riemann-grenrör är längden på ett kurvsegment som definieras parametriskt (som en vektorfunktion av parametern , varierande från till ): $x(t)$ $t$ $a$ $b$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt))}\,dt =\int \limits _{x(a)}^{x(b)}{\sqrt {g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}}.

Vinkeln mellan två vektorer, och (i krökt utrymme finns vektorer i tangentrymden vid en punkt på grenröret), ges av: $\theta \$ $U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\$ $V=v^{j}{\partial \over \partial x^{j}}\$

\cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right |\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}.

Generaliseringar

Litteratur

B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko . modern geometri. - Vilken upplaga som helst.
SOM. Mishchenko, A.T. Fomenko . Kurs i differentialgeometri och topologi. - Vilken upplaga som helst.
V. A. Sharafutdinov. Föredrag. Kapitel 5: Riemannska grenrör