Rostock (matematik)

Ett objekts grodd på ett topologiskt utrymme uttrycker objektets lokala egenskaper. På sätt och vis kan vi säga att detta är ett nytt objekt som endast tar över de lokala egenskaperna hos det objekt som födde det (oftast fungerar kartläggningar som sådana objekt ). Uppenbarligen kan olika funktioner definiera samma grodd. I det här fallet sammanfaller alla lokala egenskaper (kontinuitet, jämnhet, etc.) för sådana funktioner, och det räcker med att beakta egenskaperna inte hos funktionerna själva, utan bara hos deras bakterier. Den viktiga punkten är att introducera begreppet lokalitet, så bakterier beaktas för objekt på ett topologiskt utrymme.

Formell definition

Låt en punkt av ett topologiskt utrymme och två mappningar till valfri mängd ges . Sedan säger vi det och definierar samma grodd i om det finns ett område av punkten så att begränsningarna på och på sammanfaller. Det är, $x$ $X$ $f,\;g:X\to Y$ $Y$ $f$ $g$ $x$ $U$ $x$ $f$ $g$ $U$

f|_{U}=g|_{U}

(vilket betyder ). $\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$

På liknande sätt talar man om två delmängder : de definierar samma grodd i om det finns ett grannskap så att: $S,\;T\subset X$ $x$ $U$

S\cap U=T\cap U.

Uppenbarligen är tilldelningen av identiska bakterier vid en punkt en ekvivalensrelation ( på mappningar eller uppsättningar, respektive), och dessa ekvivalensklasser kallas bakterier (kartbakterier eller satta bakterier). Ekvivalensrelationen betecknas vanligtvis med eller . $x$ $f\sim _{x}g$ $S\sim _{x}T$

Grodden till en given karta vid en punkt betecknas vanligtvis med . På liknande sätt betecknas den grodd som definieras av uppsättningen med . $f$ $x$ $[f]_{x}$ $S$ $[S]_{x}$

[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.

En könsmatning punkt till punkt skrivs , alltså är en hel klass av likvärdighet av mappningar, och det är vanligt att förstå alla representativa kartläggningar av. Det kan också noteras att två uppsättningar är likvärdiga (definierar samma mängd groddar) om deras karakteristiska funktioner är likvärdiga (med avseende på kartläggning av bakterier): $x\i X$ $y\i Y$ $(X,\;x)\to (Y,\;y)$ $f$ $f$

S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.

Litteratur

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Introduktion till h -principen . - M .: Moskvas centrum för kontinuerlig matematisk utbildning, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .