Avskiljbart utrymme
Ett separerbart utrymme (från latin separabilis - separerbart) är ett topologiskt utrymme där en överallt räknabar tät delmängd kan urskiljas [1] .
Många utrymmen som uppstår i kalkyl och geometri är separerbara. Separerbara utrymmen har vissa egenskaper som är attraktiva för matematiker, som härrör från förmågan att representera varje element i utrymmet som gränsen för en sekvens av element från en räkningsbar mängd, precis som vilket reellt tal som helst kan representeras som en gräns för en sekvens av rationella tal .
Många satser kan bevisas konstruktivt endast för separerbara utrymmen. Ett typiskt exempel på en sådan sats är Hahn-Banach-satsen , som kan bevisas konstruktivt när det gäller separerbara utrymmen, men som annars använder valets axiom för att bevisa det .
Egenskaper
- Den kontinuerliga bilden av ett separerbart utrymme är separerbart.
- Varje öppet topologiskt delrum i ett separerbart utrymme är separerbart.
- Som mest är en räknebar produkt av separerbara utrymmen separerbar. (Dessutom behöver produkten av ett godtyckligt antal separerbara utrymmen inte längre vara separerbara).
- Uppsättningen av alla reellt värderade kontinuerliga funktioner på ett separerbart utrymme har högst kardinalitet kontinuum (eftersom en kontinuerlig funktion är unikt definierad av sina värden på en tät delmängd).
- Separerbarhet i fallet med ett metriskt utrymme är ekvivalent med att ha en räknebar bas av topologin. Ett kompakt metriskt utrymme är separerbart.
- Om ett metriskt utrymme innehåller ett oräkneligt antal element, vars parvisa avstånd är större än någon positiv konstant, är utrymmet inte separerbart.
Exempel
- Ett diskret topologiskt utrymme är separerbart om och endast om det som mest är räknebart.
- Utrymmet för reella tal är separerbart: här är rationella tal en räknebar överallt tät mängd . Mer generellt är utrymmena och separerbara.
- Utrymmet av kontinuerliga funktioner på ett segment med metriken för enhetlig konvergens (det vill säga rymden ) är separerbar. Enligt Weierstrass approximationssats är utrymmet för polynom med rationella koefficienter på samma intervall dess räknebara överallt täta delrum. Banach-Mazur- satsen säger att varje separerbart Banach-utrymme är isomorft till något slutet delrum .
- Ett Hilbert-utrymme är separerbart om och endast om det har en räknebar ortonormal grund .
- Utrymmet är inte separerbart, eftersom det innehåller en oräknelig uppsättning med parvisa avstånd lika med ett (uppsättningen av alla sekvenser av nollor och ettor).
- Hölder-utrymmen är inte separerbara. [2]
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![C[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e160d783783c799aae07cf78d250747461af0ff9)
Anteckningar
- ↑ J. Kelly Allmän topologi. - M .: Nauka, 1968 - s. 75
- ↑ Utrymmen med kontinuerliga funktioner med ett bråkdelsjämnhetsindex. . Hämtad 26 mars 2013. Arkiverad från originalet 23 mars 2017.