Harmoniska vibrationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 april 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

Harmoniska svängningar är svängningar där en fysisk storhet förändras över tiden enligt en harmonisk ( sinusformad , cosinus) lag.

Matematisk beskrivning

Den harmoniska svängningsekvationen har formen

x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})

eller

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

var

x - avvikelse av det oscillerande värdet vid den aktuella tiden t från medelvärdet för perioden (till exempel i kinematik - förskjutning, avvikelse av oscillerande punkt från jämviktspositionen);
A är oscillationsamplituden, dvs. den maximala avvikelsen för det fluktuerande värdet från medelvärdet för perioden, dimensionen A sammanfaller med dimensionen x ;
ω ( radianer / s , grader / s) - cyklisk frekvens, som visar hur många radianer (grader) svängningsfasen ändras på 1 s;
$(\omega t+\varphi _{0})=\varphi$ (radian, grad) - helfas av svängningen (förkortas fas, inte att förväxla med den initiala fasen);
$\varphi_{0}$ (radian, grad) är den initiala fasen av svängningen, som bestämmer värdet på den totala fasen av svängningen (och värdet x i sig ) vid tiden t = 0.

Differentialekvationen som beskriver harmoniska svängningar har formen

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.

Varje icke-trivial [1] lösning av denna differentialekvation är en harmonisk svängning med en cyklisk frekvens $\omega.$

Exempel

Med en enhetlig rörelse av en punkt längs en cirkel gör en harmonisk svängning en projektion (ortogonal) av denna punkt på vilken rät linje som helst som ligger i samma plan [2] . Svängningar som är nära harmoniska görs under inverkan av tyngdkraften av en liten vikt upphängd på en tunn lång tråd - en matematisk pendel - med små amplituder [3] . Harmoniska vibrationer under inverkan av den elastiska kraften utförs av en vikt fäst mellan två fjädrar på en horisontell styrning [4] . Harmoniska är torsionsvibrationerna av en vertikalt upphängd vikt som snurrar upp under inverkan av en elastisk kraft, samma vibrationer utförs av balansstången på en mekanisk klocka [5] .

I allmänhet utför en materialpunkt harmoniska svängningar om de uppstår som ett resultat av inverkan på punkten av en kraft som är proportionell mot svängningspunktens förskjutning från jämviktspositionen och riktad motsatt denna förskjutning.

Det finns exempel på övertonssvängningar inte bara inom mekanik - till exempel i en LC-krets utan dissipativa förluster uppstår förändringar i laddningen på kapacitansen , spänningen och strömmen i kretsen över tiden enligt en harmonisk lag.

Typer av vibrationer

Fria svängningar utförs under inverkan av systemets inre krafter efter att systemet har tagits ur jämvikt. För att fria svängningar ska vara harmoniska är det nödvändigt att det oscillerande systemet är linjärt (beskrivs av linjära rörelseekvationer), och det finns ingen energiförlust i det (med dissipation som inte är noll, uppstår dämpade svängningar i systemet efter excitation).
Forcerade svängningar utförs under påverkan av en extern periodisk kraft. För att forcerade svängningar ska vara harmoniska räcker det att svängningssystemet är linjärt (beskrivs av linjära rörelseekvationer), och den yttre kraften (påverkan) förändras över tiden som en harmonisk svängning (det vill säga tidsberoendet för denna kraft). , i sin tur vara sinusformad ).

Applikation

Harmoniska vibrationer skiljer sig från alla andra typer av vibrationer av följande skäl:

Mycket ofta [6] kan små svängningar, både fria och forcerade , som förekommer i verkliga system, anses ha formen av harmoniska svängningar eller mycket nära det.
Som Fourier etablerade 1822 , kan en stor klass av periodiska funktioner utökas till en summa av trigonometriska komponenter - i en Fourier-serie . Med andra ord kan varje periodisk svängning representeras som summan av harmoniska svängningar med motsvarande amplituder, frekvenser och initiala faser. Bland termerna för denna summa finns en harmonisk svängning med den lägsta frekvensen, som kallas grundfrekvensen, och denna svängning i sig är den första övertonen eller grundtonen, medan frekvenserna för alla andra termer, harmoniska svängningar, är multiplar av grundfrekvensen, och dessa svängningar kallas högre övertoner eller övertoner - den första, andra, etc. [7]
För en bred klass av system är svaret på en harmonisk effekt en harmonisk svängning (linearitetsegenskap), medan förhållandet mellan effekt och respons är en stabil egenskap hos systemet. Med hänsyn till den tidigare egenskapen tillåter detta oss att studera passagen av oscillationer av en godtycklig form genom systemen.

Se även

Anteckningar

↑ Det vill säga inte identiskt lika med noll.
↑ Landsberg, 2003 , sid. 17.
↑ Landsberg, 2003 , sid. 2,25.
↑ Landsberg, 2003 , sid. 27-29.
↑ Landsberg, 2003 , sid. 29-30.
↑ Det underförstådda villkoret här är att systemets egenskaper måste vara konstanta i tiden (vilket i verkligheten ganska ofta är sant, åtminstone ungefär).
↑ Landsberg, 2003 , sid. 43.

Litteratur

Elementär lärobok i fysik / Ed. G.S. Landsberg . - 13:e uppl. - M. : FIZMATLIT , 2003. - T. 3. Svängningar och vågor. Optik. Atom- och kärnfysik.
Khaikin S. E. Fysiska grunder för mekanik. - M. , 1963.
A. M. Afonin. Fysiska grunder för mekanik. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
Gorelik G.S. Svängningar och vågor. Introduktion till akustik, radiofysik och optik. - M. : Fizmatlit, 1959. - 572 sid.