Opartisk skattare

En opartisk skattning i matematisk statistik är en punktuppskattning vars matematiska förväntan är lika med den uppskattade parametern.

Definition

Låt vara ett urval från fördelningen beroende på parametern . Då kallas uppskattningen opartisk om ${\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\theta \in \Theta$ ${\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)$

{\mathbb {E}}\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

var

$\mathbb {E} \left[X\right]$ — matematisk förväntan ;
$\för alla$ är den universella kvantifieraren .

Annars kallas uppskattningen partisk, och den slumpmässiga variabeln kallas dess bias . $\mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta$

Exempel

Urvalsmedelvärdet är en opartisk uppskattning av den matematiska förväntan , eftersom om , , då . ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty$ $\forall i\in \mathbb {N}$ ${\mathbb {E}}{\bar {X}}=\mu$

Låt oberoende slumpvariabler ha finit varians . Låt oss göra uppskattningar $X_{i}$ ${\mathrm {D}}X_{i}=\sigma ^{2}$

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \right)^{2}

är provvariansen ,

och

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\summa \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ höger)^{2}

är den korrigerade provvariansen .

Sedan är de partiska och opartiska skattningarna av parametern . Fördomen kan bevisas på följande sätt. $S_{n}^{2}$ $S^{2}$ $\sigma ^{2}$ $S_{n}^{2}$

Låt och vara medelvärdet respektive dess uppskattning, då: $\mu$ $\overline {X}$

\operatörsnamn {E} [S_{n}^{2}]=\operatörsnamn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n }(X_{i}-{\överlinje {X)))^{2}{\bigg ]}.

Lägger vi till och subtraherar och sedan grupperar termerna får vi: $\mu$

\operatörsnamn {E} [S_{n}^{2}]=\operatörsnamn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n }{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.

Låt oss kvadrera det och få:

\operatörsnamn {E} [S_{n}^{2}]=\operatörsnamn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-2({\överlinje {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n} (X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Notera att vi får: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )={\overline {X}}-{\frac {1}{ n}}(n\mu )$

\operatörsnamn {E} [S_{n}^{2}]=\operatörsnamn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-({\överlinje {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Givet att

$\operatörsnamn {E} [a+b]=\operatörsnamn {E} [a]+\operatörsnamn {E} [b]$ (egenskapen hos matematiska förväntningar);
$\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\ bigg ]}=\sigma ^{2}$ - dispersion ;
$\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2 }$ , därför att , med hänsyn till det och är oberoende och , dvs. , $\operatörsnamn {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operatörsnamn {E} {\big [}{\big (} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operatörsnamn {E } {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac { 2}{n^{2))}\summa _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\ stor ]}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0$ $\operatorname {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\summa _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operatörsnamn {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ] }\operatörsnamn {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0$

vi får:

{\begin{aligned}\operatörsnamn {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatörsnamn {E} {\big [}({\overline {X} }-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n))\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}

Litteratur och några referenser

MG Kendall. "Den avancerade teorin om statistik (vol. I). Fördelningsteori (2:a upplagan)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
MG Kendall och A. Stuart. "Den avancerade teorin om statistik (vol. II). Slutledning och samband (2:a upplagan)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
A. Papoulis. Sannolikhet, slumpvariabler och stokastiska processer (3:e upplagan). McGrow-Hill Inc., 1991.
G. Saporta. "Probabilités, analys des données et statistiques". Editions Technip, Paris, 1990.
JF Kenney och ES Keeping. Statistikens matematik. Del I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
IV Blagouchine och E. Moreau: "Obiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 57, nr. 9, sid. 3330–3346, september 2009.
Ett belysande motexempel