Avsluta förlängning

En finit förlängning är en förlängning av ett fält så att det är ändligt dimensionellt över som ett vektorrum . Dimensionen av ett vektorrum över kallas graden av förlängning och betecknas med . $E\upprörd K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $[E:K]$

Avsluta tilläggsegenskaper

Den finita förlängningen är alltid algebraisk . Faktum är att låt , eftersom för varje element uppsättningen av element inte kan vara linjärt oberoende, då finns det ett polynom över grad inte högre än , vilket är dess rot. $[E:K]=n$ $\alfa \i E$ $n+1$ $1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}$ $K$ $n$ $\alfa$

En enkel algebraisk förlängning är finit. Om ett irreducerbart polynom över har grad , då . $E=K(\alpha )$ $\alfa$ $K$ $n$ $[E:K]=n$

I ett torn av fält är ett fält ändligt över om och endast om ändligt över och ändligt över . Detta följer lätt av de grundläggande egenskaperna hos vektorrum. I det här fallet, om är en grund över och är en grund över då är en grund över , därav . $F\supset E\supset K$ $F$ $K$ $F$ $E$ $E$ $K$ $e_{1},...e_{n}$ $E$ $K$ $f_{1},...f_{m}$ $F$ $E$ $f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1} ,...f_{m}e_{n}$ $F$ $K$ $[F:E][E:K]=[F:K]$

En finit förlängning E genereras ändligt . Vi kan ta element av vilken grund som helst som genererande element . Omvänt är varje ändligt genererad algebraisk förlängning ändlig. Verkligen ,. Element som är algebraiska över förblir så över ett större fält . Därefter tillämpar vi satserna om ändligheten av enkla algebraiska förlängningar och tornet av finita förlängningar. $E=K(e_{1},...e_{n})$ $K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})...(\alpha _{{i-1}})$

Om naturligtvis, så är sammansättningen av fält en finit förlängning (om och finns i något fält ). $E\upprörd K$ $F\upprörd K$ $F$ $E$ $EF$ $F$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra - M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra - M:, Mir, 1967