Strikt normerat utrymme

Inom matematiken är strikt normerade utrymmen en viktig underklass av normerade utrymmen , som i struktur liknar Hilbert-rum . För sådana utrymmen har problemet med unika approximationer lösts, och denna egenskap används i stor utsträckning inom beräkningsmatematik och matematisk fysik. Dessutom, i ett strikt normerat utrymme, kommer ett segment som förbinder två punkter i en godtycklig sfär att ligga helt strikt innanför (med undantag för gränspunkter) en öppen boll som avgränsas av denna sfär.

Ett normerat utrymme X kallas strikt normerat (eller strikt konvext ) om det för att godtyckligt uppfylla villkoret existerar sådana att . $x,y\i X$ $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $y=\lambda x$

Egenskaper för strikt normerade utrymmen

Låt X vara ett strikt normerat utrymme och L ett linjärt delrum av . Då för det finns högst ett element så att . $\forall x\in X$ $u\in L$ $\rho (x,L)=\|xu\|$

Elementet kallas elementet för bästa approximation av x element från L . Existensen av ett element med bästa approximation säkerställs av följande teorem. $u$

Teorem . Låt X vara ett normerat rum och L ett ändligt dimensionellt linjärt delrum. Då för det finns ett element av bästa approximation . $\forall x\in E$ $u\in L$

Dessutom, i ett normerat, men inte strikt normerat utrymme, är elementet för den bästa approximationen generellt sett inte unik.

Varje boll i ett strikt normerat utrymme är en strikt konvex uppsättning . Det omvända är också sant, om varje boll i ett normerat utrymme är en strikt konvex uppsättning, då är det givna utrymmet strikt normerat.
Ett normerat utrymme X är strikt normerat om och endast om villkoret alltid innebär att . $\forall x,y\in X:\|x\|=1,\|y\|=1,x\neq y$ $\|x+y\|<2$

Exempel på strikt normerade utrymmen

$\mathbb R^2$ med normen . Men normerna och på det som är likvärdiga med normen genererar inte ett strikt normerat utrymme (se figur). ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2))))$ $\|\mathbf {x} \|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|\))$ $\mathbb R^2$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$
$L_{p}$ , var . Detta faktum följer av Youngs ojämlikhet , som används vid härledningen av Hölders och Minkowskis ojämlikheter . $1<p<\infty$
Hilbert utrymmen

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Funktionsanalys / redaktör Crane S. G. - 2:a, reviderad och kompletterad. — M .: Nauka , 1972 . — 544 sid. — (Referens matematiskt bibliotek).