Banach-Mazurs sats

Banach-Mazur- satsen säger att normerade rum är delrum till rummet av kontinuerliga funktioner på ett intervall. Uppkallad efter Stefan Banach och Stanisław Mazur .

Formulering

Varje verkligt separerbart Banach-rum är isometriskt isomorft till ett slutet delrum av rummet för alla kontinuerliga funktioner från enhetsintervallet till den reella linjen.

Variationer och generaliseringar

Icke-separerbara Banach-utrymmen kan inte isometriskt bäddas in i ett separerbart utrymme , men för varje Banach-utrymme X kan man hitta ett kompakt Hausdorff-utrymme K och en isometrisk linjär inbäddning j från X till utrymmet C( K ) av reella kontinuerliga funktioner på K . För K kan vi ta enhetskulan för det dubbla utrymmet X ′ utrustad med w *-topologin. Denna boll är kompakt enligt Alaoglus teorem . Häckning definieras som $C^{0}([0,1],\mathbb {R} )$

\forall x'\in K:\qquad j(x)(x')=x'(x).

Kartläggningen j är linjär och den är isometrisk enligt Hahn–Banachs sats .