Weierstrass sats om hela funktioner

Sats

Varje hel funktion som som mest har ett räknat antal nollor , där punkten 0 är ordningens noll , kan representeras som en oändlig produkt av formen $f$ $\{0\}\cup \{a_{n}\}\till \infty$ $\lambda$

f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n }}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}} }\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n))}\left({\frac {z}{a_{n))}\right)^{p_{n} }\höger)

där är någon hel funktion, och icke-negativa heltal väljs på ett sådant sätt att serien $h$ $p_n$

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}+1}}\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right| ^{p_{n}+1}

konvergerade med alla . Vid utelämnas exponenten som motsvarar faktortalet n (den anses vara lika med ). $z$ $p_{n}=0$ $\exp(0)=1$

Detta teorem är generaliserat till fallet med multipla rötter enligt följande. Det mest allmänna uttrycket för en hel funktion som har multiplicitetsnollor vid givna punkter ( ) är produkten $f$ $z=a_{k}$ $a_{k}\till \infty$ $n_{k}$

f(z)=z^{{n_{0}}}e^{{h(z)}}\prod _{{k=1}}^{\infty }\left\{\left(1-{ \frac {z}{a_{k}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{k}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{k))}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{k))}\left({\frac {z}{a_{k))} \right)^{{p_{k}}}\right)\right\}^{{n_{k}}}

där är en godtycklig hel funktion, och icke-negativa heltal väljs på ett sådant sätt att serien $h$ $p_n$

\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {n_{k}}{p_{k}+1}}\left|{\frac {z}{a_{k}}}\ höger|^{{p_{k}+1}}

konvergerade med alla . $z$

Exempel

Nedbrytning av sinus och cosinus till en oändlig produkt.

\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)

\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{udda))}\left(1-{\frac {2z}{q)) \right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}} }\höger)

Notera

Denna sats är, liksom Mittag-Lefflers sats , en generalisering av en välkänd egenskap - nedbrytningen av polynom till faktorer - till fallet med hela funktioner.

Litteratur

Gurvits A., Courant R. Funktionsteori. M., 1968. sid. 125 ff.
Ruchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. S. 200.
Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funktioner för en komplex variabel och några av deras tillämpningar. - M .: Nauka, 1964. - S. 316