Carnots teorem (termodynamik)

Carnots sats är en sats om prestandakoefficienten (COP) för värmemotorer . Enligt detta teorem beror inte Carnot-cykelns effektivitet på arbetsvätskans natur och värmemotorns utformning och är en funktion av värmarens och kylskåpets temperaturer [1] .

Historik

1824 drog Sadi Carnot slutsatsen: "Värmens drivkraft beror inte på de medel som används för dess utveckling; dess kvantitet bestäms uteslutande av temperaturerna i de kroppar mellan vilka, slutligen, överföringen av kalorier utförs.

Logiken i Carnots resonemang var följande: "... det är möjligt med tillräcklig anledning att jämföra värmens drivkraft med kraften från fallande vatten: båda har ett maximum som inte kan överträffas, oavsett vilken maskin som används för att använda verkan av vatten i ett fall, och i det andra - ämnet som används för att utveckla värmekraften

Drivkraften för fallande vatten beror på fallhöjden och mängden vatten; värmens drivkraft beror också på mängden kalori som används och beror på vad som kan kallas och vad vi faktiskt kommer att kalla höjden på dess fall - det vill säga på temperaturskillnaden i de kroppar mellan vilka utbytet av kalorier sker . När vatten faller är drivkraften strikt proportionell mot skillnaden i nivåer i de övre och nedre reservoarerna. Med fallet av kalorier ökar utan tvekan drivkraften med temperaturskillnaden mellan de varma och kalla kropparna ....

Formuleringar

Vissa moderna författare (K. V. Glagolev, A. N. Morozov från Bauman Moscow State Technical University), såväl som tidigare D. V. Sivukhin (MIPT) talar redan om två Carnot-satser, citerar: "Ovanstående resonemang tillåter oss att gå vidare till formuleringen av den första och andra Carnots satser . De kan formuleras som följande två påståenden:

1. Verkningsgraden för en reversibel värmemotor som arbetar enligt Carnot-cykeln beror inte på arbetsvätskans natur och maskinens utformning, utan är en funktion av endast temperaturen på värmaren och kylskåpet: $\eta =1-F(T_{H},T_{X}).$

2. Verkningsgraden för alla värmemotorer som arbetar med en irreversibel cykel är mindre än verkningsgraden för en maskin med en reversibel Carnot-cykel, förutsatt att temperaturen på deras värmare och kylskåp är lika: $\eta _{n}<\!\eta _{o}.$

Andra författare (till exempel B. M. Yavorsky och Yu. A. Seleznev) pekar på tre aspekter av en Carnot-sats, citat (se sid. 151-152.):

3°. Termisk effektivitet reversibel Carnot-cykel beror inte på arbetsvätskans natur och bestäms endast av värmarens och kylarens temperaturer : $T_{H}$ $T_{X}$

\eta _{k}={\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}=1-{\frac {T_{X}}{T_{H}}} .

$\eta _{k}<1$ , eftersom det är praktiskt taget omöjligt att implementera villkoret och teoretiskt omöjligt att implementera ett kylskåp med: . $T_{H}\högerpil \infty$ $T_{X}=0$

4°. Termisk effektivitet godtycklig reversibel cykel kan inte överstiga den termiska verkningsgraden. reversibel Carnot-cykel utförd mellan samma temperaturer på både värmaren och kylskåpet: $\eta_{o}$ $T_{H}$ $T_{X}$

\eta _{o}<{\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}.

5°. Termisk effektivitet godtycklig irreversibel cykel är alltid mindre än den termiska effektiviteten. reversibel Carnot-cykel utförd mellan temperaturer och : $\eta _{n}$ $T_{H}$ $T_{X}$

\eta _{n}<{\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}.

Punkterna 3°-5° utgör innehållet i Carnots sats.

Bevis för Carnots teorem

Det finns flera olika bevis för denna sats.

Sadi Carnots bevis

... I olika lägen upplever kolven mer eller mindre betydande tryck från luften i cylindern; luftens elastiska kraft varierar både med en förändring i volym och med en förändring i temperatur, men det bör noteras att med lika volymer, det vill säga för liknande positioner av kolven, kommer temperaturen att vara högre under sällsynthet än under kompression. Därför, i det första fallet, kommer luftens elastiska kraft att vara större, och följaktligen kommer drivkraften som produceras av rörelsen från expansion att vara större än den kraft som behövs för kompression. Det blir alltså ett överskott av drivkraft, ett överskott som kan användas till något. Luft kommer att tjäna oss som en värmemotor; vi använde det till och med på det mest fördelaktiga sättet, eftersom inte en enda värdelös återställning av kaloribalansen inträffade.

Modernt bevis för en idealisk gas

Ett av bevisen presenteras i boken av D. ter Haar och G. Wergeland "Elementär termodynamik" (se fig.).

DE-process:

Eftersom gasen är idealisk, och den inre energin förblir konstant. All värme som tas emot från behållaren vid en temperatur omvandlas till externt arbete: $(dU/dV)_{T}=0$ $T_{H}$

Q_{DE}=\int \limits _{ik}^{cd}p{dV}=RT_{H}\ln {\frac {V_{cd}}{V_{ik}}}.\qquad

[ett]

Process B-C:

På liknande sätt omvandlas det arbete som utförs i isotermisk kompression till värme, som överförs till en kall reservoar:

Q_{BC}=\int \limits _{gh}^{ef}p{dV}=RT_{X}\ln {\frac {V_{ef}}{V_{gh}}}.\qquad

[2]

EB- och CD-processer:

Eftersom gasen är idealisk och endast beror på temperatur , följer det av ekvationen att det arbete som utförs i en av dessa två adiabatiska processer helt kompenserar för det arbete som utförs i den andra processen. Genom att använda det adiabatiska tillståndet får vi faktiskt: $U$ $T$ $Q=U_{2}-U_{1}+A$ $C_{V}dT+pdV=0$

C_{V}(T_{H}-T_{X})=\int \limits _{cd}^{gh}pdV=-\int \limits _{ef}^{ik}pdV.

För att hitta sambandet mellan , , och , notera att, enligt Poisson-ekvationen , i adiabatiska processer: $V_{{ik}}$ $V_{{cd}}$ $V_{{gh}}$ $V_{{ef}}$ $TV^{{R/C_{V}}}=konst$

(E→B): $T_{H}V_{cd}^{x-1}=T_{X}V_{gh}^{x-1},$

(C→D): $T_{X}V_{ef}^{x-1}=T_{H}V_{ik}^{x-1},$

och följaktligen

{\frac {V_{cd}}{V_{ik}}}={\frac {V_{gh}}{V_{ef}}}.

Genom att ersätta denna relation med ekvationerna [1] och [2], får vi

{\frac {Q_{BC}}{Q_{DE}}}={\frac {T_{H}}{T_{X}}}.

Samtidigt kommer vi till resultatet ... att effektiviteten av den optimala cykeln är

\eta _{max}={\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}.

Litteratur

S. Carnot. Reflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. - Paris, Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
Carnot Nicolas Léonard Sadi, översatt av V.R. Bursian och Yu.A. Krutkov. Reflektioner om eldens drivkraft och om maskiner som kan utveckla denna kraft.
D. Ter Haar, G. Wergeland. Elementär termodynamik. Översättning från engelska av I. B. Vikhansky. Redigerad av N.M. Plakidy (D. TER HAAR, Oxford University, H. WERGELAND, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. ELEMENTS OF THERMODYNAMICS. Addison-Wesley Publishing Company). - M .: Förlaget "Mir", 1968.
Yavorsky B.M., Detlaf A.A. Handbok i fysik. För universitetsstudenter och ingenjörer. Sjunde upplagan, reviderad. - M .: Förlaget "Nauka", 1979.
Glagolev K.V., Morozov A.N. Fysisk termodynamik. - M .: Förlag vid Moscow State Technical University uppkallat efter N.E. Bauman, 2004.
Yavorsky B.M., Seleznev Yu.A. Fysik. Referensguide: För universitetssökande. - 5:e uppl., reviderad. — M.: Fizmatlit, 2004.

Anteckningar

↑ Chefredaktör A. M. Prokhorov. Carnot-satsen // Physical Encyclopedic Dictionary. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1983. (ryska) //Physical Encyclopedia. I 5 volymer. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk. Chefredaktör A. M. Prokhorov. 1988.

Länkar

http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1165074&uri=page1.html