Katastrofteori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 juli 2020; kontroller kräver 18 redigeringar .

Katastrofteorin är en gren av matematiken som inkluderar teorin om bifurkationer av differentialekvationer ( dynamiska system ) och teorin om singulariteter för jämna mappningar. Katastrofteorin är en gren av modern matematik, som är en vidareutveckling av teorin om stabilitet och bifurkationer.

Termerna "katastrof" och "katastrof-teori" introducerades av Rene Thom och Christopher Zieman i slutet av 1960-talet och början av 1970-talet ("katastrof" betyder i detta sammanhang en skarp kvalitativ förändring i ett objekt med en jämn kvantitativ förändring av parametrarna som det beror på) [1] [2] .

Katastrofteori har funnit många tillämpningar inom olika områden av tillämpad matematik, fysik, såväl som inom ekonomi och statsvetenskap .

På tekniska universitet studeras stabilitetsteorin, som är grunden för teorin om katastrofer. Metoder för stabilitetsteori används i teorin om automatisk styrning, modellering av dynamiska system, elektroteknik, biologi och kognitionsvetenskap.

Historik

De första grundläggande resultaten inom området dynamiska system relaterade till teorin om katastrofer beror på Henri Poincare (metoden för normala former i teorin om differentialekvationer) och Alexander Andronov Sr. (bifurkationer av dynamiska system). Grunden till teorin om singulariteter för smidiga mappningar lades främst i den amerikanske topologen Hassler Whitneys verk på 1940- och 1950-talen, vilka föregicks av Morses lemma om den normala formen av en funktion i ett grannskap av en icke degenererad kritisk punkt.

I slutet av 1960-talet tog Rene Thom upp utvecklingen av denna riktning . Men Whitney och Thoms idéer blev populära tack vare flera publikationer av Zieman på 1970-talet, som aktivt främjade katastrofteori, jämförde dess betydelse med uppfinningen av kalkyl och talade om en "revolution inom matematik". Den snabba utvecklingen av katastrofteorin under 1970-1990-talen är förknippad med aktiviteterna av Michael Boardman , Egbert Brieskorn , James JW Bruce , John Mather , fr(MalgrangeBernard Bernard Malgrange ), Rene Thomas, Terry Wall , Christopher Ziman och särskilt Vladimir Arnold och hans elever ( Ilya Bogaevsky , Alexander Varchenko , Viktor Vasiliev , Alexander Givental , Viktor Goryunov , Sabir Hussein-Zade , Vladimir Zakalyukin , Maxim Kazaryan , Vyacheslav Sedykh ).

Seven Elementary Disasters av Tom

Katastrofteori analyserar de kritiska punkterna (repetitioner) för en potentiell funktion, det vill säga de punkter där inte bara den första derivatan av funktionen är lika med noll, utan även derivatorna av en högre ordning är lika med noll. Dynamiken i utvecklingen av sådana punkter kan studeras genom att utöka den potentiella funktionen i Taylor-serier genom små förändringar i ingångsparametrarna. Om tillväxtpunkter inte bara bildar ett slumpmässigt mönster, utan bildar ett strukturerat stabilitetsområde, existerar dessa punkter som organiserande centra för speciella geometriska strukturer med en låg nivå av katastrof, med en hög nivå av katastrof i fasrummets omgivande områden. Om den potentiella funktionen beror på tre eller färre aktiva variabler, och fem eller färre aktiva parametrar, så finns det i detta fall endast sju generaliserade strukturer av de beskrivna bifurkationsgeometrierna, som kan tilldelas standardformer av expansioner i Taylor-serier, till vilka repetitioner kan utökas med hjälp av diffeomorfism (smidig transformation, vars omkastning också är jämn). Idag är dessa sju grundläggande typer av katastrofer kända under de namn som René Thom gav dem.

Potentiella funktioner med en aktiv variabel

Vik katastrof

De stabila och instabila delarna av extremumet som försvinner vid en bifurkation av vecktyp:

V = x^3 + ax

För negativa värden på parametern har potentialfunktionen två extrema - en stabil (stabil jämvikt) och en instabil (instabil jämvikt). Om parametern ändras långsamt kan systemet vara på en stabil minimipunkt. Men om , stabila och instabila extrema möts och utplånar. Detta är bifurkationspunkten. För , det finns ingen stabil lösning. $a$ $a$ $a=0$ $a>0$

Om det fysiska systemet passerar genom en bifurkationspunkt av vecktyp, och därför parametern passerar genom noll, förloras stabiliteten hos lösningen vid , och systemet kan plötsligt övergå till ett nytt, mycket annorlunda tillstånd från det föregående. Detta bifurkationsparametervärde kallas ibland "fixeringspunkten". $a$ $a<0$ $a$

Exempelkod i Python

importtid importera matplotlib.pyplot som plt importera matplotlib.animation som animation importera numpy som np från matplotlib importstil _ _ stil . använd ( 'ggplot' ) fig = plt . figur () ax1 = fig . add_subplot ( 1 , 1 , 1 ) värden = [ - 6,0 , - 5,0 , - 4,0 , - 3,0 , - 2,0 , - 1,0 , 0,0 , 1,0 ] poäng = [[ - 6 , - 3 ], [ - 5 , - 2,5 ], [ - 4 , - 2 ], [ - 3 , - 1,5 ], [ - 2 , - 1,0 ], [ - 1 , - 0,5 ], [ 0 , 0 ], [ 1 , 0,5 ], [ 2 ] , 1.0 ], [ 3 , 1.5 ], [ 4 , 2.0 ], [ 5 , 2.5 ], [ 6 , 3 ]] def calc_fold_data ( x , a ): x3 = np . effekt ( x , 3 ) resultat = x3 + ( a * x ) returnerar resultat def animate ( index ): om index == len ( värden ): tid . sova ( 3 ) avsluta () värde = värden [ index ] xar = [] år = [] för punkt i poäng : x = calc_fold_data ( punkt [ 0 ], värde ) y = calc_fold_data ( punkt [ 1 ], värde ) print ( "Y: {} X: {} " . format ( x , y )) xar . lägga till ( x ) år . lägg till ( y ) ax1 . clear () plt . title ( "Värde: {} " . format ( värde )) plt . scatter ( 0 , 0 ) ax1 . plot ( xar , yar ) ani = animation . FuncAnimation ( fig , animera , intervall = 1000 ) plt . visa ()

Assembly katastrof

$V = x^4 + ax^2 + bx$

Återmontering av katastrofdiagram med cusp som visar kurvor (brun, röd) för variabel x som uppfyller uttrycket för parametrar ( a , b ), kurvor visas för att kontinuerligt ändra parameter b vid olika värden av parameter a . Utanför cusp-lokuset (blått område), för varje punkt ( a , b ) i fasrymden, finns det bara ett extremvärde på x . Inuti cusps finns det två distinkta värden på x som ger de lokala minima för funktionen V ( x ) för varje par ( a , b ). I det här fallet separeras dessa värden med ett lokalt maximum.

Gaffelbifurkation vid a = 0 i rymden b = 0. Formen på spetsarna i fasutrymmet ( a , b ) nära katastrofpunkten, visar platsen för faltningsbifurkationer som skiljer en region med två stabila lösningar och en region med ett beslut . Geometrin för cusp-punkter är ganska vanlig när man studerar vad som händer med faltningsbifurkationer när en ny parameter b läggs till kontrollutrymmet. Genom att ändra parametrarna kan det konstateras att det finns en kurva (blå) av punkter i rymden ( a , b ) på vilka stabiliteten går förlorad, det vill säga på denna kurva kan en stabil lösning plötsligt "hoppa" till ett alternativ värde (även stabilt).

Men i geometrin för cusp-punkter vänder bifurkationskurvan tillbaka och skapar en andra gren, på vilken denna andra lösning redan förlorar stabilitet och därför kan göra ett "hopp" tillbaka till den ursprungliga uppsättningen av lösningar. Genom att upprepade gånger öka värdet på parametern b och sedan minska det, kan hysteres i slingornas beteende observeras, eftersom systemet följer en lösning, "hoppar" till en annan, följer den och "hoppar" tillbaka till den ursprungliga.

Detta är dock endast möjligt i ett område i parametriskt utrymme med < 0. Om värdet på parametern a ökar, blir hystereslooparna mindre och mindre tills värdet på a når 0. Vid denna punkt försvinner slingorna (den cusp catastrophe) och endast en stabil lösning.

Du kan också överväga processen att ändra parametern samtidigt som värdet på b bibehålls oförändrat . I det symmetriska fallet, vid b = 0, kan man observera en bifurkation av "gaffel"-typ med ett minskande värde på parametern a, en stabil lösning delas plötsligt i två stabila lösningar och en instabil. Vid denna tidpunkt passerar det fysiska systemet in i området a < 0 genom cuspen ( a = 0, b = 0) (detta är ett exempel på spontan symmetribrott). Långt ifrån spetsen finns det inga plötsliga förändringar i det fysiska systemet, eftersom när man passerar längs faltningsbifurkationskurvan, vad som händer är att en andra alternativ lösning blir tillgänglig.

Ett av de mest intressanta förslagen för att använda en cusp-krasch är att denna typ av krasch kan användas för att modellera beteendet hos en hund som kan bli rädd eller arg som svar på en yttre stimulans. Förslaget är att vid måttlig exponering ( a > 0) kommer hunden att uppvisa en gradvis förändring som svar från rädsla till ilska beroende på hur exponeringen administrerades. Men den högre exponeringsnivån är den stress som motsvarar övergången till området a < 0. I det här fallet, om hunden var rädd från början, kommer den att förbli rädd med en ökning av stimuleringsnivån tills han så småningom når punkten för återvända, där det kommer att ske en spontan övergång till ondska. När hunden går in i detta läge kommer hunden att förbli förbittrad även om exponeringen för det gradvis minskar.

Ett annat exempel på en tillämpad tillämpning av cusp-katastrofen är att modellera beteendet hos en elektron när den rör sig från en energinivå till en annan, vilket ofta observeras i kemiska och biologiska system. Detta indikerar att bifurkationerna av den övervägda typen och spetspunkternas geometri är den viktigaste praktiska delen av katastrofteorin. Dessa är mönster som dyker upp om och om igen i fysik, ingenjörskonst och matematisk modellering.

De återstående enkla katastrofgeometrierna är mer specialiserade än den som nyss betraktats och uppträder därför endast i vissa enskilda fall.

Laxstjärskatastrof

$V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx$

Kontrollutrymmet i denna typ av katastrof är tredimensionellt. Kaskaden av bifurkationer i fasutrymmet består av tre ytor av bifurkationer av typen "veck", som möts på två kurvor av bifurkationer med spetsar, som så småningom möts vid en punkt, vilket är en bifurkation av typen "laxstjärt".

När parametrarnas värden passerar längs ytorna på områdena med bifurkationer av typen "vikning", försvinner ett minimum och ett maximum av den potentiella funktionen. I området för bifurkationer med en cusp ersätts två minima och ett maximum med ett minimum; bakom dem försvinner bifurkationer av typen "veck". Vid svalstjärtspunkten möts två minima och två maxima i samma värde av variabeln x . För värden a > 0 finns det antingen ett par (minimum, maximum) bakom svalstjärten, eller så finns det inga bifurkationer alls. Det beror på värdena för parametrarna b och c . Två bifurkationsytor av typen "veck" och två linjer av bifurkationer med spetspunkter möts vid en < 0 och försvinner därför vid själva punkten av svalstjärten och ersätts av en yta av bifurkationer av typen "veck". Salvador Dalis senaste målning , Svalans svans, inspirerades av denna typ av katastrof.

Butterfly disaster

$V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$

Beroende på parametrarnas värden kan den potentiella funktionen ha tre, två eller ett lokalt minimum, och alla minima är separerade av regioner med "vikbara" bifurkationer. Vid punkten med det poetiska namnet "fjäril" finns tre olika utrymmen (tredimensionella plan) av sådana bifurkationer av typen "veck", två ytor av bifurkationer med spetspunkter och en bifurkationskurva av typen "laxstjärt". Alla dessa bifurkationer försvinner vid en punkt och omvandlas till en enkel struktur med en cusp när värdet på parametern a blir positivt.

Potentiella funktioner med två aktiva variabler

Navelkatastrofer är exempel på andra ordningens katastrofer. De kan till exempel observeras i optik när ljus reflekteras från tredimensionella ytor. Sådana katastrofer är i sig själva nära besläktade med geometrin hos nästan sfäriska ytor. René Thom föreslog att betrakta hyperbolisk navelkatastrof som förstörelsen av en våg, och elliptisk navelkatastrof som en process för att skapa strukturer som liknar en hårfäste.

Hyperboliska navelsträngar

$V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy$

Elliptisk navel

$V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2 + y^2) + bx + cy$

Parabolisk navel

$V = yx^2 + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy$

Registrering och klassificering av katastrofer enligt Arnold

V. I. Arnold föreslog en klassificering av katastrofer " ADE-klassificering ", med djupa kopplingar till teorin om Lie-grupper .

En 0 är en icke-singular punkt: . $V=x$
Ett 1 - lokalt extremum : stabilt minimum eller instabilt maximum . $V = \pm x^2 + ax$
En 2 - veck
En 3 - montering
En 4 - laxstjärt
En 5 - fjäril
A k är en oändlig sekvens av former från en variabel $V=x^{k+1}+\cdots$
D 4 + - plånbok = hyperbolisk navel
D 4 - - pyramid = elliptisk navel
D 5 - parabolisk navel
D k är en oändlig sekvens av andra navelsträngar
E 6 - symbolisk navelsträng $V=x^3+y^4+axy^2+bxy+cx+dy$
E 7
E 8

Det finns objekt inom singularitetsteorin som motsvarar de flesta andra enkla Lie-grupper.

Tillämpningar av katastrofteori

Skapandet och utvecklingen av denna del av matematisk analys var förknippad med de breda möjligheterna för visuell analys av vissa komplexa fenomen, särskilt de som förekommer i beskrivningen av en mängd olika naturfenomen, som också beaktar diskontinuerliga funktioner för vilka matematiska apparater analys är inte lämplig ( regnbåge , kaustik , förluststabilitet av strukturer, svängningar och förstörelse i strukturell mekanik, beteende inom etologi , astrofysik, bifurkationsinstabilitet i atomgittret, spontan ordning i biokemiska reaktioner, populationsdynamik, hydrodynamisk instabilitet och förekomsten av turbulens , kaotisk dynamik hos en konstig attraktion).

Se även

Journal of the Singularities

Anteckningar

↑ Termen katastrof introducerades av Tom för att beteckna en kvalitativ förändring i ett objekt med en jämn förändring av parametrarna som det beror på. Denna term, som ersatte de tidigare använda termerna bifurkation , omstrukturering , metamorfos , fick stor popularitet efter att Zeeman [121] föreslog att man skulle använda namnet katastrofteorin för att kombinera teorin om singulariteter, teorin om bifurkationer och deras tillämpningar. V. I. Arnold . Katastrofteori .
↑ På initiativ av R. Thomas, istället för bifurkationer, talar man om "katastrofer". Dessa ord ska inte tas bokstavligt. Jag kommer att ge exempel som verkligen övervägdes på allvar i arbeten om "katastrof-teorin": om stabiliteten hos en elastisk struktur kränks, är detta med största sannolikhet en katastrof, men om solens strålar, som bryts i vatten, bildar ljusa linjer vid botten av bäcken, detta är knappast någon orolig, utom kanske för barn som ser det för första gången. <...> Om katastrof är synonymt med bifurkation, kan man fråga sig vilken term som är lämpligast. Som framgår av det som sagts ska varken det ena eller det andra tas bokstavligt. Men "katastrof" är ett ord i vanligt (litterärt och vardagligt) språk som har en viss och dessutom en mycket känslomässigt färgad betydelse, och mycket färre känner till den ursprungliga betydelsen av ordet "bifurkation", och till och med de har knappast alla känslor förknippade med det. Därför är det neutrala ordet "bifurkation" mer lämpligt för vetenskap och "katastrof" för masspublikationer. [D. V. Anosov. Om utvecklingen av teorin om dynamiska system under det senaste kvarts sekel. En av huvuduppgifterna för katastrofteorin är att erhålla den så kallade normala formen av föremålet som studeras (differentialekvation eller kartläggning) i närheten av "katastrofpunkten" och klassificeringen av objekt byggda på denna grund.

Litteratur

På ryska

Arnold V. I. Theory of catastrophes / Rec.: A. V. Chernavsky . - 3:e uppl., tillägg. — M .: Nauka . Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1990. - 128 sid. - 84 000 exemplar. — ISBN 5-02-014271-9 .
V. I. Arnold . Teori om katastrofer.
V. I. Arnold . Singulariteter i variationskalkylen.
V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov Teori om bifurkationer.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Goryunov, O. V. Lyashko Egenheter. I. Lokal och global teori.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Goryunov, O. V. Lyashko Egenheter. II. Klassificering och tillämpningar.
A.B. Givental . Singulära lagrangiska grenrör och deras lagrangiska kartläggningar.
V. M. Zakalyukin . Omarrangemang av fronter, kaustik beroende på en parameter, mångsidighet av mappningar.
Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, — Alla upplagor.
Arnold V. I. Egenskaper av frätande material och vågfronter, - M .: Fazis, 1996.
Brecker T., Lander L. Differentierbara bakterier och katastrofer, - Alla upplagor.
Golubitsky M., Guillemin V. Stallkartläggningar och deras singulariteter, - M.: Mir, 1977.
Poston T., Stuart I. Katastrofteorin och dess tillämpningar, - M .: Mir, 1980.
Tom R. Strukturell stabilitet och morfogenes, - M .: Logos, 2002.
Brus J., Jiblin P. Kurvor och singulariteter: En geometrisk introduktion till teorin om singulariteter, - M .: Mir, 1988.
Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion till singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 sid. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

På engelska

Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3:e uppl. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
Gilmore, Robert. Katastrofteori för forskare och ingenjörer. New York: Dover, 1993.
Postle, Denis. Katastrofteori - Förutsäg och undvik personliga katastrofer. Fontana Pocketbok 1980. ISBN 0-00-635559-5
Poston, Tim och Stewart, Ian. Katastrofteori och dess tillämpningar. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
Poston, T. och Stewart, Ian. Katastrof: teori och dess tillämpningar. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X .
Sanns, Werner. Katastrofteori med Mathematica: A Geometric Approach. Tyskland: DAV, 2000.
Saunders, Peter Timothy. En introduktion till katastrofteori. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
Thom, Rene. Strukturell stabilitet och morfogenes: en översikt över en allmän teori om modeller. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3 .
Thompson, J. Michael T. Instabiliteter och katastrofer inom vetenskap och teknik. New York: Wiley, 1982.
Woodcock, Alexander Edward Richard och Davis, Monte. katastrofteori. New York: E.P. Dutton, 1978.
Zeeman, EC Catastrophe Theory-Selected Papers 1972-1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Länkar

På ryska

D. V. ANOSOV Om utvecklingen av teorin om dynamiska system under det senaste kvarts sekel.

På engelska

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Britannica (online) Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	NDL : 00576387 NKC : ph195834