Berezinsky - Kosterlitz - Taules korsning

Kosterlitz-Thouless-övergång eller Berezinsky-Kosterlitz-Thouless-övergång (BKT-övergång) eller topologisk fasövergång  - fasövergång i en tvådimensionell XY-modell. Detta är en övergång från tillståndet av kopplade vortex-antivirvelpar vid låga temperaturer till tillståndet med oparade virvlar och antivirvelpar vid någon kritisk temperatur. Övergången är uppkallad efter fysiker av kondenserad materia Vadim Lvovich Berezinsky , John M. Kosterlitz och David J. Thouless . BKT-övergångar kan observeras i vissa 2D-system i den kondenserade materiens fysik som approximeras av XY-modellen ( materias topologiska fas ), inklusive i en rad Josephson-korsningar och i tunna supraledande granulära filmer. Denna term används också som namn för att fästa Cooper-par i isoleringsläget på grund av likheten med den vanliga BKT-virvelövergången.

XY-modell

XY-modellen  är en tvådimensionell vektorspinmodell som har U(1) -symmetri . Detta system förväntas inte ha en normal andra ordningens fasövergång . Detta beror på att den förväntade ordnade fasen av systemet förstörs av tvärgående vibrationer, d.v.s. Goldstone-lägen (se Goldstone-boson ) associerade med att bryta denna kontinuerliga symmetri , som divergerar logaritmiskt när storleken på systemet ökar. Detta är ett specialfall av Mermin-Wagner-satsen för spinnsystem.

Denna övergång har inte studerats noggrant, men förekomsten av två faser bekräftades av McBryan och Spencer (1977) och Fröhlich och Spencer (1981).

BKT-övergång: oordnade faser med olika korrelationer

I XY-modellen i två dimensioner observeras inte andra ordningens fasövergång. Det finns dock en lågtemperatur kvasiordnad fas med en korrelationsfunktion (se statistisk mekanik ) som minskar med avståndet i en effektlag och beror på temperaturen. Övergången från en oordnad hög temperatur fas med exponentiell korrelation till denna lågtemperatur kvasi-ordnad fas kallas en BKT övergång. Detta är en fasövergång av oändlig ordning.

Virvlarnas roll

I den tvådimensionella XY-modellen är virvlar topologiskt stabila konfigurationer. Det har fastställts att den oordnade fasen vid hög temperatur med exponentiell korrelation beror på bildningen av virvlar. Vortexbildning blir termodynamiskt gynnsam vid den kritiska temperaturen för BKT-övergången. Under denna temperatur tar korrelationen formen av en maktlag.

I många system med BKT-övergångar sönderfaller kopplade antiparallella virvelpar, kallade virvel-antivirvelpar, till okopplade virvlar snarare än virvelbildning. [1] [2] I sådana system sker termisk generering av virvlar med ett jämnt antal virvlar av motsatt tecken. Bundna vortex-antivirvelpar har mindre energi och entropi än obundna virvlar. För att minimera den fria energin genomgår systemet en övergång vid en kritisk temperatur . Nedan finns endast kopplade vortex-antivirvelpar. Fria virvlar observeras ovan .

Informell beskrivning

Det finns en elegant termodynamisk beskrivning av BKT-övergången. Energin i en enda virvel har formen , där  är en parameter beroende på systemet i vilket virveln är belägen,  är storleken på systemet och  är radien för virvelkärnan. Det antas att . Antalet möjliga positioner för varje virvel i systemet är ungefär . Enligt Boltzmanns lag är entropi lika , där  är Boltzmanns konstant . Således är Helmholtz fria energi

Vid kommer systemet inte att ha virvlar. Men om , då är detta tillstånd tillräckligt för att det ska finnas virvlar. Låt oss bestämma övergångstemperaturen för . Kritisk temperatur

Virvlar kan bildas över denna kritiska temperatur, men inte under. BKT-övergången kan observeras experimentellt i en 2D-array av Josephson-korsningar genom att mäta ström och spänning. Ovanstående förhållande kommer att vara linjärt . Lite lägre kommer förhållandet mellan spänning och ström att ta formen , medan antalet fria virvlar kommer att växa som . Detta hopp från linjärt till kubiskt är ett tecken på en BKT-övergång och kan användas för att bestämma . Detta tillvägagångssätt användes i artikeln av Reznik et al [3] för att bekräfta BKT-övergången i en array av kopplade på grund av närhetseffekten av Josephson-korsningar.

Rigorös analys

Låt ett fält φ ges på planet, som tar värden i S 1 . För enkelhetens skull arbetar vi med dess universella lock R , och identifierar två valfria värden på φ( x ) som skiljer sig åt med ett heltal gånger 2π.

Energi ges av

Boltzmannfaktorn är lika med exp(− βE ).

Om vi ​​tar konturintegralen över valfri stängd kontur γ, kan vi förvänta oss att den är noll om kurvan γ är sammandragbar, vilket förväntas från en platt kurva. Men det finns en egenhet här. Antag att XY-teorin har en UV-gräns, vilket kräver en viss begränsning av UV. Sedan finns det punkteringar i planet, så om γ är en stängd bana som går runt punkteringen bara en gång, så kan värdet bara vara ett heltal multiplicerat med 2π. Dessa punkteringar kallas virvlar, och om γ är en sluten kontur som bara går en gång moturs runt punkteringen, och dess ordningsföljd för någon annan punktering med avseende på denna kurva är lika med noll, kan heltalsmultipliciteter tilldelas virveln. Antag att fältkonfigurationen har N punkteringar vid punkterna x i , i  = 1, …,  n med multipliciteter n i . Sedan sönderfaller φ till summan av fältkonfigurationen utan punkteringar φ 0 och , där vi för enkelhets skull har passerat till komplexa koordinater på planet. Den sista termen har förgreningar, men eftersom φ endast definieras modulo 2π är de inte fysiska.

Ytterligare,

Om , då är den andra termen positiv och oändlig, så konfigurationer med ett obalanserat antal virvlar observeras aldrig.

Om , då är den andra termen lika med .

Detta är den exakta formeln för Coulomb-gasens energi; skalan L bidrar med inget annat än ett konstant bidrag.

Betrakta fallet med endast en virvel med multiplicitet 1 och en virvel av multiplicitet −1. Vid låga temperaturer, det vill säga vid stort β, tenderar vortex-antivirvelparet att vara extremt nära varandra. Att separera dem skulle kräva energi i storleksordningen UV-avstängningsenergin. Med ett större antal virvel-antivortex-par får vi en uppsättning virvel-antivirvel-dipoler. Vid höga temperaturer, det vill säga litet β, har vi ett plasma som består av virvlar och motvirvlar. Fasövergången mellan dessa tillstånd kallas BKT-övergången.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Resnick; et al. (1981).
  2. ↑ Z. Hadzibabic et al.: "Berezinskii-Kosterlitz-Thouless crossover in a catched atomic gas", Nature 441 , 1118 (2006)
  3. ↑ DJ Resnick, JC Garland, JT Boyd, S. Shoemaker och RS Newrock. Kosterlitz-Thouless Transition in Proximity-Coupled Superconducting Arrays // Phys. Varv. Lett.. - Vol. 47. - doi : 10.1103/PhysRevLett.47.1542 . - .

Litteratur

Böcker

Länkar