Topologiskt kvanttal

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 mars 2013; kontroller kräver 3 redigeringar .

Inom fysik är ett topologiskt kvantnummer (även kallat en topologisk laddning ) vilken kvantitet som helst i fysikalisk teori som endast antar en diskret uppsättning värden, på grund av topologiska överväganden. Vanligtvis är topologiska kvantnummer topologiska invarianter , associerade med topologiska soliton -typlösningar av något system av differentialekvationer som modellerar ett fysiskt system, eftersom solitoner själva har att tacka topologiska överväganden sin stabilitet. Det speciella namnet "topologiska överväganden" följer vanligtvis av förekomsten av en fundamental grupp eller högredimensionell homotopigrupp i problembeskrivningen, ofta nog eftersom gränsen som gränsvillkoren ställs på har en icke-trivial homotopigrupp fixerad med differentialekvationer . Det topologiska kvanttalet för någon lösning kallas ibland antalet varv , eller mer strikt graden av kontinuerlig kartläggning .

Nya tankar om fasövergångarnas natur indikerar att topologiska kvanttal, och deras associerade solitoner , kan skapas eller förstöras under en fasövergång.

Partikelfysik

Inom partikelfysik är ett exempel skyrmion , för vilken baryonnumret  är det topologiska kvanttalet. Initialt är det faktum att isospin modelleras av SU(2) , som är isomorft till en 3-sfär . Om vi ​​tar ett riktigt tredimensionellt utrymme och stänger det med en punkt i oändligheten får vi också en 3-sfär. Lösningar till Skyrme-ekvationen i verklig tredimensionell rymd kartlägger en punkt i "verklig" (fysisk, euklidisk) rymd till en punkt i SU(2) 3-grenröret. Topologiskt olika lösningar "lindar" en sfär runt en annan så att ingen lösning, oavsett hur den har modifierats, kan "vecklas ut" utan att orsaka ett brott i lösningen. Inom fysiken är sådana diskontinuiteter förknippade med energins oändlighet och är därför förbjudna.

I exemplet ovan är det topologiska påståendet att den 3:e homotopigruppen i 3-sfären: och sedan kan baryontalet bara ta heltalsvärden.

Dessa idéer finner sin generalisering i Wess-Zumino-Novikov-Witten-modellen .

Exakt lösbara modeller

Ytterligare exempel kan hittas inom området exakt lösbara modeller , såsom sinus-Gordon- ekvationen , Korteweg-de Vries- ekvationen och Ishimori-ekvationen . Den 1-dimensionella sinus-Gordon-ekvationen är skriven för ett extremt enkelt exempel, eftersom den fundamentala gruppens roll spelas och därmed är det egentligen antalet varv : en cirkel kan lindas runt en cirkel ett helt antal gånger.

Fasta tillståndets fysik

I fasta tillståndets fysik kan typer av kristallina dislokationer , såsom skruvdislokationer , beskrivas av topologiska solitoner. Ett exempel som involverar skruvdislokationer är associerat med germanium-whiskers .

Länkar