Exakta övre och nedre gränser

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; kontroller kräver 9 redigeringar .

Den exakta övre gränsen (övre gränsen) och den exakta nedre gränsen (nedre gränsen) är generaliseringar av begreppen maximum respektive minimum av en mängd.

De exakta övre och nedre gränserna för en mängd betecknas vanligtvis (läs supremum x ) respektive (läs infimum x ). $X$ $\sup X$ $\inf X$

Använda definitioner

Majoranten , eller övre gränsen (gräns) , av en numerisk uppsättning är ett antalså att. $X$ $a$ $\forall x\in X\Högerpil x\leqslant a$

Minorant , eller nedre gräns (gräns) , av en numerisk uppsättning är ett antal sådant att . $X$ $b$ $\forall x\in X\Högerpil x\geqslant b$

På liknande sätt introduceras liknande koncept för en delmängd av en icke-numerisk partiellt ordnad uppsättning . Dessa begrepp kommer att användas nedan.

Definitioner

Den exakta övre gränsen (minsta övre gränsen) , eller supremum ( latin supremum - den högsta), av en delmängd av en delvis ordnad mängd (eller klass ) är det minsta elementet som är lika med eller större än alla element i mängden . Med andra ord är supremum den minsta av alla övre ansikten. Utsedda . $X$ $M$ $M$ $X$ $\sup X$

Mer formellt:

S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}

- uppsättning av övre ytor , det vill säga element lika med eller större än alla element ;

X

M

X

s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.

Den exakta nedre gränsen (största nedre gränsen) , eller infimum ( lat. infimum - den lägsta), delmängden av en delvis ordnad mängd (eller klass ) är det största elementet , som är lika med eller mindre än alla element i mängden . Infimum är med andra ord den största av alla nedre gränser. Utsedda . $X$ $M$ $M$ $X$ $\inf X$

Anteckningar

Dessa definitioner säger ingenting om huruvida och tillhör uppsättningen eller inte: $\sup X$ $\inf X$ $X$

i fallet säg att det är max , det vill säga ;

s=\sup X\in X

s

X

s=\max X

i fall sägs vara minimum av , dvs.

i=\inf X\i X

i

X

i=\min X

Ovanstående definitioner är icke-predikativa (hänvisar till sig själva), eftersom det definierade konceptet i var och en av dem är en del av den uppsättning genom vilken det definieras. Förespråkare av konstruktivism i matematik motsätter sig användningen av sådana definitioner, vilket förhindrar eller eliminerar delar av den " onda cirkeln " i deras teorier med olika metoder.
När man uppskattar okända konstanter används termerna "övre gräns" och "nedre gräns", medan den övre gränsen är den nedre gränsen för någon känd uppsättning, och den nedre gränsen är den övre gränsen . Från engelska kan termen "upper bound" översättas både som "upper bound" och som "upper bound", vilket ibland leder till förvirring. Situationen är liknande med uttrycket "låg gräns".

Exempel

Det finns inget minimum på uppsättningen av alla rationella tal större än fem, men det finns ett infimum. en sådan uppsättning är lika med fem. Infimumet är inte ett minimum, eftersom fem inte tillhör denna uppsättning. Om vi däremot definierar mängden av alla naturliga tal större än fem, så har en sådan mängd ett minimum, och det är lika med sex. Generellt sett har varje icke-tom delmängd av uppsättningen naturliga tal ett minimum. $\inf$
För ett set ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2 )),\;{\frac {1}{3)),\;\ldots \right\))$

\sup S=1

; .

\infS=0

Uppsättningen av positiva rationella tal har inte en minsta övre gräns i , utan ett exakt infimum . $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ $\mathbb {Q}$ $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$
Mängden rationella tal vars kvadrat är mindre än två har inte exakta övre och nedre gränser i , men om den betraktas som en delmängd av mängden reella tal , då ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\))$ $\mathbb {Q}$

\sup X={\sqrt {2}}

och .

\inf X=-{\sqrt {2}}

Kantsats

Formulering

En icke- tom delmängd av de reella talen , avgränsad ovan, har en minsta övre gräns; den analoga , avgränsad underifrån, är infimum. Det vill säga, det finns sådana som: $A$ $B$ ${\bar {a}}$ ${\underline {b))$

{\bar {a))=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a)),\\\forall {\bar {a} }'<{\bar {a}}\,\,\exists a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)

{\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b)),\\\forall {\underline {b} }'>{\underline {b}}\,\,\exists b\in B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)

Bevis

För en icke-tom uppsättning avgränsad från ovan. För en mängd avgränsad underifrån utförs argumenten på liknande sätt. $X$

Låt oss representera alla tal i form av oändliga decimalbråk : , där är en siffra. $x\i X$ $x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots ))$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i))$

Uppsättningen är icke-tom och avgränsad från ovan per definition . Eftersom och är avgränsad från ovan, finns det ett ändligt antal element som är större än några (annars skulle induktionsprincipen innebära obegränsadhet från ovan). Låt oss välja bland dessa . $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $X$ $X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}$ $X_{0}$ ${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$ $X_{0}$ ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0))$

Setet är inte tomt och består av högst tio element, så det finns . $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ $a_{1}=\max X_{1}$

Antag att ett decimaltal för något tal är konstruerat så att , och (decimalrepresentationen av något element i originaluppsättningen till den -:e decimalen inte överstiger , och det finns minst 1 element vars decimalnotation börjar med ). $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ $\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots ))$ ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1} \ldots x_{m))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $m$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m))))$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m))$

Beteckna (uppsättningen element som börjar med decimalnotation med ). Enligt definition av nummer är uppsättningen tom. Det är ändligt, så det finns ett tal som har samma egenskaper som . $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1))}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+ 1 }\ldots }}\in X\}$ $X$ ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1))$ ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m))))$ $X_{m+1}$ ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$ $a_m$

Sålunda, enligt principen om induktion , visar det sig för alla vara en viss siffra och därför bestäms ett oändligt decimaltal unikt $n$ $en$

a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}

Låt oss ta ett godtyckligt nummer . Enligt konstruktionen av numret , för vilket nummer som helst det innehar och därför . Eftersom resonemanget är uppfyllt , då , och den andra raden i definitionen visar sig vara uppfylld från konstruktionen av . $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$ $a$ $n$ ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n))}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n))))$ $x\leqslant a$ $\forall x\in X$ $a=\sup X$ $a$

Låt oss välja . Det är lätt att se att minst en siffra i decimalnotationen är mindre än motsvarande i notationen . Betrakta resultatet som erhålls av den första siffran i en sådan figur. Eftersom det inte är tomt, . $a'<a$ $a'$ $a$ $X_{i}$ $\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$

Bevis med fullständighetsprincipen

För en icke-tom uppsättning avgränsad uppifrån, överväg — en icke-tom uppsättning övre gränser . Per definition, (uppsättningen ligger till vänster om ). Enligt kontinuiteten , . Per definition i alla fall (annars - inte uppsättningen av övre gränser, utan bara en del av dess delmängd). Sedan är det minsta elementet , alltså . $X$ ${\overline {X}}$ $X$ ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ $X$ ${\overline {X}}$ $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c\in {\overline {X}}$ ${\overline {X}}$ $c$ ${\overline {X}}$ $c=\sup X$

Låt oss kolla den andra raden i definitionen. Låt oss välja . Låt alltså , vilket betyder att , men , och är den minsta delen av . En motsägelse, det vill säga . Generellt sett är resonemanget korrekt . $c'<c$ $\not \exists x\in X:x>c'$ $\forall x\in X:x\leqslant c'$ $c'\in {\overline {X}}$ $c'<c$ $c$ ${\overline {X}}$ $\exists x\in X:x>c'$ $\forall c'$

För en mängd avgränsad underifrån är argumenten likartade.

Egenskaper

Genom kantsatsen, för alla delmängder som begränsas ovan , finns det . $\mathbb {R}$ $\upp$
Genom kantsatsen, för varje delmängd avgränsad nedan , finns det . $\mathbb {R}$ $\inf$
Ett reellt tal är om och endast om: $s$ $\sup X$

s

det finns en övre gräns , det vill säga för alla element , ;

X

x\i X

x\leqslant s

för alla finns det , sådan att (det vill säga du kan "komma nära" godtyckligt från uppsättningen , och för , det är uppenbart att ).

\varepsilon >0

x\i X

x+\varepsilon >s

s

X

s\in X

s+\varepsilon >s

Ett påstående som liknar det förra gäller också för den minsta nedre gränsen.

Variationer och generaliseringar

Betydande topp

Litteratur

Bogdanov Yu. S., Kastritsa OA, Syroid Yu. B. Matematisk analys: Lärobok för universitet. — M.: UNITI-DANA, 2003.- S. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
Bogdanov Yu. S. Föreläsningar om matematisk analys. Del 1. - Mn .: BSU Publishing House, 1974. - S. 3-8.
W. Rudin. Grunderna i matematisk analys. — M .: Mir, 1976. — 320 sid.