Vlasov ekvation

Vlasov-ekvationen är ett system av ekvationer som beskriver dynamiken hos en laddad partikelplasma , med hänsyn till Coulomb-krafter med lång räckvidd med hjälp av ett självständigt fält . Det föreslogs först av A. A. Vlasov i artikeln [1] och presenterades senare i monografin [2] .

Problem med det gaskinetiska tillvägagångssättet

I sitt arbete påpekar Vlasov först otillämpligheten av det gaskinetiska tillvägagångssättet baserat på Boltzmann-ekvationen (det antas att kollisionsintegralen endast beror på parkollisioner) för beskrivningen av plasmadynamik med Coulomb-interaktion . Han noterar följande problem när han försöker tillämpa teorin baserad på parkollisioner på beskrivningen av plasma:

parkollisionsapproximationen är oförenlig med studierna av Rayleigh och Langmuir och Tonks , som förutspådde och undersökte Langmuir-vågor i elektrongasplasma. [3] [4]
parkollisionsapproximationen är inte formellt tillämplig på Coulomb-interaktionen på grund av divergensen av det totala spridningstvärsnittet.
parkollisionsapproximationen förklarar inte Merrills och Webbs experiment på onormal spridning av elektroner i en gasformig plasma. [5]

Som orsaken till dessa problem pekar Vlasov på Coulomb-krafternas långväga natur, vilket leder till interaktion mellan var och en av partiklarna med en kombination av andra partiklar. Långdistansverkan innebär i detta fall att påverkansradien för denna kraft är större än medelavståndet mellan partiklarna.

Vlasov-Maxwell ekvationer

Vlasov övervägde ursprungligen ett system av allmänna plasmaekvationer, inklusive tre komponenter (elektroner, joner och neutrala atomer), och skrev Boltzmann-ekvationen för den s -:e plasmakomponenten i formen

{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\mathrm {div} _{\mathbf {r} }{\vec {v}}f_{s}+{\frac { e_{s}}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}] \right)\mathrm {grad} _{\mathbf {v} }f_{s}=\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s1}^{ st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s2}^{st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{ \partial t}}\right]_{s3}^{st}.

var är fördelningsfunktionen . Detta ekvationssystem inkluderade också Maxwells ekvationer och ekvationer för laddning och ström uttryckt i termer av distributionsfunktioner . Eftersom Vlasov bara var intresserad av våglösningar, försummade han bidragen från kollisionsintegraler, eftersom det enligt uppskattningar visade sig att plasmavågornas frekvenser är mycket högre än frekvenserna för parkollisioner av partiklar i plasma. Det vill säga, istället för att beskriva växelverkan mellan laddade partiklar i en plasma med hjälp av kollisioner, föreslog han att man skulle använda ett självkonsistent fält skapat av laddade plasmapartiklar för att beskriva en potential på lång räckvidd. Istället för Boltzmann-ekvationen föreslår Vlasov att använda följande ekvationssystem för att beskriva laddade plasmakomponenter ( elektroner med en fördelningsfunktion och positiva joner med en fördelningsfunktion ): $f_{s}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_s$ $f_{e}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_{i}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$

{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {x}}} }-e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {x}}} }+e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\rm {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi {\vec {j}}}{c}}+{\frac {1}{c}}{\ frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t)),\quad {\rm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}

{\rm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho ,\quad {\rm {div}}{\vec {B}}=0

\rho =e\int (f_{i}-f_{e})d^{3}{\vec {p)),\quad {\vec {j))=e\int (f_{i }-f_{e}){\vec {v}}d^{3}{\vec {p}}

Här är elektronladdningen , är ljusets hastighet och är de självkonsekventa elektriska och magnetiska fälten som skapas vid en punkt i taget av alla laddade plasmapartiklar. Den väsentliga skillnaden mellan detta ekvationssystem och rörelseekvationerna för laddade partiklar i ett externt elektromagnetiskt fält är att det självständiga elektromagnetiska fältet i sig beror på ett komplext sätt på fördelningsfunktionerna för joner och elektroner. $e$ $c$ ${\vec {E}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {B}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {r))$ $t$

Vlasov-Poissons ekvationer

Vlasov-Maxwell-ekvationerna är ett system av icke-linjära integro-differentialekvationer . Om fluktuationer av fördelningsfunktioner i förhållande till jämviktstillståndet är små, kan detta ekvationssystem linjäriseras . Linearisering kommer att ge ett system av Vlasov-Poisson-ekvationer som beskriver plasmadynamiken i ett självkonsistent elektrostatiskt fält. Vlasov-Poisson-ekvationerna är ett system av Vlasov-ekvationer för varje plasmakomponent (vi betraktar den icke-relativistiska gränsen):

{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec { x))))+{\frac {q_{\alpha }{\vec {E}}}{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\ vec{v}}}}=0,

och Poisson-ekvationerna för ett självkonsistent elektriskt fält:

\nabla \cdot {\vec {E}}=-\Delta \phi =4\pi \rho .

Här är den elektriska laddningen och är massan av plasmapartiklar, är det självkonsistenta elektriska fältet, är potentialen för det självkonsistenta elektriska fältet och är den elektriska laddningstätheten . ${\displaystyle q_{\alpha ))$ $m_{\alpha }$ ${\vec {E}}({\vec {x}},t)$ $\phi ({\vec {x)),t)$ $\rho$

Anteckningar

↑ A. A. Vlasov. Om vibrationsegenskaper hos elektrongas // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1938. - T. 8 (3) . - S. 291 . Arkiverad från originalet den 22 juli 2018.
↑ A. A. Vlasov. Teori om vibrationsegenskaper hos elektrongas och dess tillämpningar // Uch. app. Moscow State University. - 1945. - Utgåva. 75. Bok. 2. Del 1 .
↑ Rayleigh, Phil. Mag. 11, 117 (1906).
↑ I. Langmuir och L. Tonks, Phys. Upps. 33, 195 (1929).
↑ HJ Merrill och HW Webb. Elektronspridning och plasmaoscillationer (engelska) // Physical Review : journal. - 1939. - Vol. 55 , nr. 12 . — S. 1191 . - doi : 10.1103/PhysRev.55.1191 . - .

Litteratur

Kotelnikov IA- föreläsningar om plasmafysik. Volym 1: Fundamentals of Plasma Physics. - 3:e uppl. - St Petersburg. : Lan , 2021. - 400 sid. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .
I.P. Bazarov, P.N. Nikolaev. Anatoly Alexandrovich Vlasov . — Fysiska fakulteten, Moscow State University. - M. , 1999. - S. 19-26. - (Enastående forskare vid fakulteten för fysik vid Moskvas statliga universitet). — En detaljerad diskussion av Vlasovs ekvationer.
F. Pegoraro, F. Califano, G. Manfredi, PJ Morrison. Teori och tillämpningar av Vlasov-ekvationen (engelska) // Eur. Phys. J.D. _ - 2015. - Vol. 69 . — S. 68 . - doi : 10.1140/epjd/e2015-60082-y . - arXiv : 1502.03768 .